Ejercicio sobre la integral de Riemann-Stieltjes

Question

Tengo que demostrar sin usar ningún derivado que:

$$i) \; \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n \frac{1}{n+i-1}=\int_1^2\frac{1}{x}\,dx$$

Y, utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo:

$$ii) \;\text{If} \; r\in \mathbb{N}, \;\text{then}\; \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n\frac{i^r}{n^{r+1}}=\frac{1}{r+1}.$$

Así, desde

$f\in R([a,b])\leftrightarrow$ $f$ es integrable en el sentido de la definición de Riemann.

Tenemos el siguiente Corolario:

$$\int_a^bf\,d\alpha=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{N(n)}f\left(\xi_i^n\right)\cdot \left(\alpha( x_i^n)- \alpha( x_{i-1}^n)\right)$$

Estoy intentando seguir un ejemplo hecho en clase pero no lo consigo:

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3n}=\frac{1}{2n}\left( \frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}}+\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{2}{2n}}+\cdots+\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{2n}{2n}}\right)$$

Y como $f(x)=\frac{1}{\frac{1}{2}+x}$ es continua en $[0,1]$ obtenemos $f\in R\left(\left[0,1 \right]\right)$

Entonces:

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3n} \right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{2n}f\left( \frac{k}{2n} \right) \left( \frac{k}{2n}-\frac{k-1}{2n} \right)=\int_0^1\frac{1}{\frac{1}{2}+x}\,dx.$$

¿Qué tipo de $\alpha(x)$ necesitaría para mi problema particular $(i)$ ? ¿Qué tiene que satisfacer para que se cumpla la última igualdad?

Supongo que la comprensión $i)$ hará $ii)$ más fácil, pero.. ¿hay algo trivial que no estoy viendo?

Answer 1

(1) Que $f:\Bbb R_{>0}\to\Bbb R$ sea la función $f(x)=1/x$ . Entonces $$\begin{aligned} \frac 1{n+0}+ \frac 1{n+1}+\dots+ \frac 1{n+(n-1)} &= \frac 1n\left( \underbrace{\frac 1{1+ \frac 0n}}_{f\left(1+\frac 0n\right)} +\underbrace{\frac 1{1+ \frac 1n}}_{f\left(1+\frac 1n\right)} +\underbrace{\frac 1{1+ \frac {n-1}n}}_{f\left(1+\frac {n-1}n\right)} \ \right) &\to\int_1^2 f(x)\; dx\ . \end{aligned}$$ Arriba, $1+\frac 0n$ , $1+\frac 1n$ , $\dots$ , $1+\frac {n-1}n$ , son puntos intermedios en el intervalo $[1,2]$ en los intervalos equidistantes obvios de longitud $\frac 1n$ por lo que las sumas de Riemann anteriores convergen a la integral de Riemann de $f$ en $[1,2]$ .

(2) Utilice la convergencia de las sumas de Rieman a la integral de Riemann para la función $x\to x^r$ , considerado el $[0,1]$ Así que reescribe $$\sum_{1\le k\le n} \frac {k^r}{n^{r+1}} = \frac 1n\sum_{1\le k\le n} \left(\frac kn\right)^r \to \int_0^1x^r\;dx =\frac 1{r+1}\ .$$