¿Diferencia entre el espacio de Grassmann y el espacio proyectivo?

Question

Hace poco leí los primeros capítulos de Pyramid Algorithms: A Dynamic Programming Approach to Curves and Surfaces for Geometric Modeling y estoy confundido sobre la diferencia entre el espacio de Grassmann y el espacio proyectivo.

Según la definición de los libros, los puntos tienen un peso asociado en ambos espacios. Sin embargo, en el espacio proyectivo se supone que todos los puntos de una misma línea proyectiva son iguales. En otras palabras, las líneas proyectivas son iguales a los puntos. ¿Puede alguien explicar un ejemplo de aplicación para ilustrar esta diferencia?

Tampoco entiendo por qué se utiliza el espacio proyectivo para definir secciones cónicas (polinomios racionales) en lugar del espacio de Grassmann. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

El grassmanniano es el conjunto de todos los subespacios de un espacio proyectivo que tiene una dimensión fija. Puede representarse utilizando las coordenadas de Plücker como una variedad algebraica, lo que esencialmente permite incrustar el Grassmannian en un espacio proyectivo.

Por ejemplo, si tiene $V$ siendo un espacio vectorial de 4 dimensiones, entonces $P(V)$ es un espacio proyectivo tridimensional. Se pueden tomar las líneas de $P(V)$ (corresponden a subespacios vectoriales bidimensionales) como el espacio grassmanniano $G(4,2)$ ; aquí las líneas de $P(V)$ se representan como puntos, y dos puntos son "colineales" en el Grassmannian si y sólo si las líneas correspondientes en $P(V)$ se cruzan de forma no trivial. A través de la correspondencia de Klein, $G(4,2)$ se puede incrustar en un espacio proyectivo de 5 dimensiones como los puntos de una cuádrica hiperbólica $\mathcal{Q}$ .