Necesito ayuda para demostrar que el diagrama de retroceso de abajo nos da un isomorfismo $\ker(g)\to \ker(\alpha)$ ?.

Question

$$\require{AMScd} \begin{CD} P@>f>>A\\ @VVgV@VV \alpha V\\ B@>\beta>>C \end{CD}$$

Si $\lambda : K \to P$ y $\mu:K' \to A$ son los núcleos de $g$ y $\alpha$ respectivamente. Entonces, dejemos que $\phi: K \to K'$ sea el mapa inducido de los núcleos.

Ahora el par de mapas $0:K' \to B$ y $\mu : K' \to A$ satisfacer $\alpha \mu = \beta 0$ para que haya un mapa $h:K' \to P$ satisfaciendo $fh=\mu$ y $gh=0$ . Desde $gh=0$ por la propiedad universal del núcleo, existe un único $\psi:K' \to K$ satisfaciendo $\lambda \psi=h$ .

Todo lo que queda es mostrar $\phi \psi = 1_{K'}$ y $\psi \phi = 1_K$ . ¿Cómo se hace eso?

Las notas que estoy leyendo dicen que $$\mu \phi \psi =f \lambda \psi = fh=\mu$$ implica $$\phi \psi = 1_{K'}$$

No veo cómo la primera igualdad en lo anterior es verdadera (¿cómo $\mu \phi=f \lambda$ ?). Y por qué la implicación sigue. Por lo que veo, no se da que $\mu$ es un monomorfismo.

Edit: No importa la última pregunta sobre por qué la implicación es verdadera. Los núcleos son mónicos se dice adelante en las notas.

La segunda parte es cierta porque:

$\lambda \psi \phi = h \phi$ . Desde $gh\phi=0=g\lambda$ y $fh\phi=\mu\phi=f\lambda$ la propiedad de unicidad del pullback $P$ da $h\phi=\lambda.$ Entonces $\lambda \psi \phi = h\phi = \lambda$ . Esto implica $\psi \phi = 1_K$ .

Answer 1

Nótese que el mapa inducido $\phi\colon K\to K'$ viene dada por la propiedad universal de los núcleos, es decir $\mu\phi = f\lambda$ es automáticamente válida. Lo que hay que demostrar es que $\alpha (f\lambda) = 0$ y luego utilizar el hecho de que $\mu$ es el núcleo de $\alpha$ .

Y la otra parte te la has imaginado tú mismo, $\phi\psi = 1_{K'} \iff \mu\phi\psi = \mu$ precisamente porque $\mu$ es mono.

Answer 2

El mapa entre núcleos $\phi:K\to K'$ se define como el único mapa tal que $\mu\phi=f\lambda$ . Que tal mapa existe se deduce de la propiedad universal de los núcleos, porque $\alpha f\lambda =\beta g\lambda = \beta 0=0$ .