Valor esperado de la permutación aleatoria

Question

Sea n 1 un número entero y consideremos una permutación aleatoria uniforme $a_1$ , $a_2$ , . . . , $a_n$ del conjunto {1, 2, . . . , n}. Definir la variable aleatoria X como el número de índices i para los que 1 i < n y $a_i$ < $a_{i+1}$ . Determine el valor esperado E(X) de X. (Sugerencia: utilice variables aleatorias indicadoras).

Esta pregunta parece estar por encima de mi cabeza. Se agradece cualquier ayuda que me oriente en la dirección correcta. Gracias.

Answer 1

Una pista: escribir $X$ como una suma de variables aleatorias indicadoras, y utilizar el hecho de que están idénticamente distribuidas.

Answer 2

Las variables indicadoras podrían ser $X_{i}$ donde $X_{i}=1$ si $a_i < a_{i+1}$ y 0 en caso contrario. ¿Tiene $\mathbb{P}(X_{i}=1)$ dependen de $i$ ? Entonces utiliza la linealidad de la expectativa, es decir $\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(\sum X_{i})=\sum \mathbb{E}(X_{i}) = \sum \mathbb{P}(X_{i}=1)$ .