Base del campo F sobre $\mathbb{Q}$

Question

Estoy estudiando por mi cuenta la teoría del campo y me ha llamado la atención este problema.

Si $\;F=\mathbb{Q} \left(\sqrt{2}, \sqrt{3}\right),\;$ encontrar $\;\left[F:\mathbb{Q}\right]\;$ y una base de $F$ en $\mathbb{Q}$ .

He demostrado que $\left[F:\mathbb{Q}\right] =4$ pero hay un problema en los elementos de base.

Mi conjunto de bases es $\left\{a, b\sqrt{2}, c\sqrt{3}\right\}$ tal que $a, b, c$ pertenece a $\mathbb{Q}$ . Pero, ¿cuál debería ser el cuarto elemento y por qué?

No soy capaz de ver .

Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Una base de $F$ en $\mathbb{Q}$ es $\;\left\{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\right\},$ en efecto, para cualquier elemento $\;x\in F\;$ existe $\;r_1,\;r_2,\;r_3,\;r_4,\;r_5,\;r_6,\;r_7,\;r_8\in\mathbb{Q}\;$ tal que

\begin{align} x&=\dfrac{r_1+r_2\sqrt{2}+r_3\sqrt{3}+r_4\sqrt{6}}{r_5+r_6\sqrt{2}+r_7\sqrt{3}+r_8\sqrt{6}}\\ &=\dfrac{r_1+r_2\sqrt{2}+r_3\sqrt{3}+r_4\sqrt{6}}{r_5+r_6\sqrt{2}+r_7\sqrt{3}+r_8\sqrt{6}}\cdot\dfrac{r_5+r_6\sqrt{2}-r_7\sqrt{3}-r_8\sqrt{6}}{r_5+r_6\sqrt{2}-r_7\sqrt{3}-r_8\sqrt{6}}\\ &=\dfrac{\left(r_1+r_2\sqrt{2}+r_3\sqrt{3}+r_4\sqrt{6}\right)\left(r_5+r_6\sqrt{2}-r_7\sqrt{3}-r_8\sqrt{6}\right)}{\left(r_5+r_6\sqrt{2}\right)^2-\left(r_7\sqrt{3}+r_8\sqrt{6}\right)^2}\\ &=\dfrac{s_1+s_2\sqrt{2}+s_3\sqrt{3}+s_4\sqrt{6}}{s_5+s_6\sqrt{2}}\\ &=\dfrac{s_1+s_2\sqrt{2}+s_3\sqrt{3}+s_4\sqrt{6}}{s_5+s_6\sqrt{2}}\cdot\dfrac{s_5-s_6\sqrt{2}}{s_5-s_6\sqrt{2}}\\ &=\dfrac{\left(s_1+s_2\sqrt{2}+s_3\sqrt{3}+s_4\sqrt{6}\right)\left(s_5-s_6\sqrt{2}\right)}{\left(s_5+s_6\sqrt{2}\right)\left(s_5-s_6\sqrt{2}\right)}\\ &=q_11+q_2\sqrt{2}+q_3\sqrt{3}+q_4\sqrt{6} \end{align}

donde $\;q_1,\;q_2,\;q_3,\;q_4\in\mathbb{Q}\;$ .