Entendiendo por vectores linealmente independientes el módulo $W$

Question

Hemos aprendido en clase:

Dejemos que $W \subseteq V$ un subespacio. $v_1, \ldots, v_k \in V$ se dice que son linealmente independientes módulo $W$ si para todo $\alpha_1, \ldots, \alpha_k: \sum_{k=1}^n \alpha_i v_i \in W \implies \alpha_1 = \ldots = \alpha_k = 0$

¿Puedes explicármelo / dar algunas intuiciones o un ejemplo?

Gracias.

Answer 1

Consideremos el espacio de cociente $V/W.$ Entonces la condición dada dice que la imagen de los vectores $v_1, v_2, \cdots , v_n \in V,$ bajo el mapa natural $V \rightarrow V/W$ también es linealmente ondependiente.

Answer 2

A modo de ejemplo, considere $V=\mathbb R^3$ - Espacio euclidiano con coordenadas $(x, y, z)$ . Sea $W$ sea la línea $x=y=0$ ( $Z$ eje). Entonces se puede demostrar por definición que el conjunto de vectores $(x_i, y_i, z_i), i=1,\ldots,k$ es linealmente independiente modulo $W$ si y sólo si el conjunto de 2 vectores $(x_i, y_i), i=1,\ldots,k$ es linealmente independiente. En otras palabras, sus proyecciones sobre $xy$ plano son linealmente independientes.

De forma más general, siempre podemos seleccionar un subespacio $W'$ tal que $V=W\oplus W'$ . (Si tiene definido el producto punto en su espacio, puede tomar $W'=$ complemento ortogonal de $W$ ). Entonces la independencia lineal módulo $W$ es equivalente a la independencia lineal de las proyecciones sobre $W'$ . Esta transformación geométrica (proyección) es equivalente al mapa natural sobre un espacio-factor mencionado en otras respuestas.

Answer 3

Ejemplo

Dejemos que $V=\Bbb R[x]$ el espacio vectorial de los polinomios reales y $W=(x^3)=\{x^3P(x)\mid P(x)\in V\}$ . Entonces, utilizando la división euclidiana vemos que $(1,x,x^2)$ es una base para $V/W$ donde entendemos por $1,x,x^2$ los cosets $1+W,x+W,x^2+W$ respectivamente.