Demostrar que $\frac{x^{2}}{(x-y)^{2}}+\frac{y^{2}}{(y-z)^{2}}+\frac{z^{2}}{(z-x)^{2}} \geq 1$

Question

Pregunta -

Deje que $x, y, z$ sean números reales distintos. Demuestra que $$ \frac{x^{2}}{(x-y)^{2}}+\frac{y^{2}}{(y-z)^{2}}+\frac{z^{2}}{(z-x)^{2}} \geq 1 $$

Mi trabajo -

primero aplico directamente la desigualdad C-S y después de simplificar tengo que probar que $4(xy+yz+zx)>x^2+y^2+z^2$ lo cual no puedo probar...

luego multiplicando $x^2,y^2,z^2$ a los numeradores y denominadores de las fracciones correspondientes aplico nuevamente C-S y esta vez tenemos que probar que después de simplificar

$(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2 + 2x^3y+2y^3z+2z^3x > 0$ lo cual también falla en probar...

Intento con otras desigualdades pero ninguna funciona.

cualquier ayuda será útil

gracias

Answer 1

Sea $a = \dfrac{x}{x-y}, b = \dfrac{y}{y-z}, c = \dfrac{z}{z-x}$, y consideremos que $a+b+c = ab+bc+ca+1$. Necesitamos demostrar que $a^2+b^2+c^2 \geqslant 1$. Pero esto es equivalente a $(a+b+c-1)^2 \geqslant 0$

---

Alternativamente, la desigualdad original es $\iff \dfrac{(x^2y+y^2z+z^2x-3xyz)^2}{(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2}\geqslant 0$