¿Cómo puedo mostrar esto en un resumen?

Question

Estoy intentando elaborar una suma para los retrasos de los paquetes que sea muy similar a la suma para estimar el RTT, que es una media móvil ponderada exponencialmente. He modificado el sumatorio para estimar el RTT que aparece a continuación (creo que lo he hecho correctamente) pero no parece encajar correctamente con la parte que sé que es correcta (donde 0.1 ha sido sustituido por u ). Si he escrito correctamente esta suma, ¿puede alguien explicar por qué la suma plantea (1-u) a la ith poder y por qué la suma sustituye u con (1-u)^n-1 y por qué la suma se multiplica por u/(1-u) .

EDITAR: Si no hubiera mirado la suma estimada de RTT esto es lo que habría supuesto...

Answer 1

Su $d_n$ en la primera ecuación es la media de las cantidades $(r_i-t_i)$ donde el índice $i$ se elige al azar entre $1$ y $n$ . Llamando a este índice aleatorio $I_n$ e introduciendo $\varphi(i)=r_i-t_i$ se obtiene $d_n=E(\varphi(I_n))$ con $P(I_n=k)=u(1-u)^{k-1}$ por cada $k$ entre $1$ y $n-1$ y $P(I_n=n)=(1-u)^{n-1}$ . En otras palabras, $I_n$ se distribuye como $\min\{G,n\}$ , donde $G$ es una variable aleatoria geométrica de parámetro $u$ . Recordemos que, por definición, $P(G=k)=u(1-u)^{k-1}$ para cada número entero $k\ge1$ .

Esto no es coherente con lo que está escrito en el marco rojo. Este marco se lee como la recursión $d_k=u\varphi(k)+(1-u)d_{k-1}$ (con la convención de que $d_0=0$ ), que da como resultado $$ d_n=\sum_{k=1}^nu(1-u)^{n-k}\varphi(k)+(1-u)^n\cdot 0. $$ Obsérvese la potencia $n-k$ (y no $k$ ) de $1-u$ en el coeficiente de $\varphi(k)=r_k-t_k$ .

Answer 2

HINT

Dado que existe incertidumbre con 1-u Sugiero retroceder, y escribir los primeros términos completamente:

$d_1 = u(r_1 - t_1)$

$d_2 = (1-u)^1 u(r_1 - t_1) + u(r_2 - t_2)$

$d_3 = (1-u)^2 u(r_1 - t_1) + (1-u)^1 u(r_2 - t_2) + u(r_3-t_3)$

Ahora, añadiendo un $(1-u)^0$ que es igual a uno, podemos obtener:

$d_1 = (1-u)^0 u(r_1 - t_1)$

$d_2 = (1-u)^1 u(r_1 - t_1) + (1-u)^0 u(r_2 - t_2)$

$d_3 = (1-u)^2 u(r_1 - t_1) + (1-u)^1 u(r_2 - t_2) + (1-u)^0 u(r_3-t_3)$

Observando las ecuaciones que se escriben, las potencias de (1-u) son de magnitud inversa a los índices de r y t . Así que creo que se busca eso en la suma. Las dos sumas que tienes no lo hacen.

Piensa en esto: es posible consolidar todo en una sola suma, una vez que se ajustan correctamente las potencias y los índices.

Así que aquí hay algo que puedes probar. Tome $d_2$ la ecuación con dos términos. Cómo se escribe eso como una suma, por ejemplo $d_2 = \sum_{i=0}^{2-1}{\mbox{equation}}$

Prueba con $d_2 = u\sum_{i=0}^{2-1}{(1-u)^i(r_{2-i}-t_{2-i})}$

Esto debería ser comprobado como $d_2$ .

Una vez que se confirme esto, no debería ser muy difícil ampliarlo para que 2 puede sustituirse por n .