Hallar el determinante de una matriz sin expandir

Question

Demuestran que el determinante $$\left|\matrix{ x^2+L & xy & xz \\ xy & y^2+L & yz \\ xz & yz & z^2+L \\ }\right| = L^2(x^2+y^2+z^2+L)$$

sin ampliar utilizando el propiedades del determinante .

Todo lo que puedo hacer es LHS

$$x^2y^2z^2\left|\matrix{ 1+L/x^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1+L/y^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1+L/z^2 \\ }\right|$$

Answer 1

Mira esta forma de tu matriz $$\pmatrix{L & 0 & 0 \\ 0 & L & 0 \\ 0 & 0 & L\\} + \pmatrix{x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0\\ 0 & 0 & z}\pmatrix{ x & y & z \\ x & y & z \\ x & y & z \\}$$

y considere su vector propio derecho $\pmatrix{x \\ y \\ z}$ con eignevalue $ x^2 + y^2 + z^2 + L$

Sospecho que aún no estás familiarizado con los valores propios, así que si eso es cierto, tal vez esto sea una buena motivación para aprender.

Revisión del Eigenvector:
Un vector propio derecho $\mathbf{v}$ con valor propio $\lambda$ se define para una matriz $\mathbf{A}$ como $$\mathbf{A}\mathbf{v} = \mathbf{v}\lambda$$ Aquí vemos que $$\pmatrix{x^2 + L & xy & xz \\ xy & y^2 + L & yz \\ xz & yz & z^2 + L}\pmatrix{x \\ y \\ z} = \pmatrix{x \\ y \\ z}(x^2 + y^2 + z^2 + L)$$ En este caso, todos los demás vectores propios provienen del subespacio bidimensional definido como el espacio de vectores ortogonales al primer vector propio, y tienen valor propio $L$ (esto se puede ver más fácilmente a partir de la primera forma que indiqué para su matriz).

El hipercubo unitario de hipervolumen uno con aristas definidas por esos vectores propios se transforma entonces por su matriz para tener volumen $(x^2 + y^2 + z^2 + L)L^2$ y ese es el determinante de tu matriz.