Demuestre que el grupo diédrico de orden 182 no contiene un subgrupo cíclico de orden 14

Question

Consideremos el grupo diédrico $D_{182}$ de orden $182=2\cdot 91$ .

Debo demostrar que este grupo no contiene un subgrupo cíclico de orden $14=2\cdot 7$ .

Mi enfoque: El libro de texto dice que para un grupo G de orden $pq$ (para los primos $p$ y $q$ con $p<q$ ), si $p$ divide $q-1$ existe un único grupo no abeliano de orden $pq$ .

Como 2 y 7 son primos, y $2<7$ puedo demostrar que como 2 divide a $7-1$ el subgrupo de orden 14 debe ser único y no abeliano. Como todos los grupos cíclicos son abelianos, este subgrupo no puede ser cíclico. Y como es único, no existen otros subgrupos de orden 14.

¿Es esto correcto y suficiente? El ejercicio insinúa que se puede utilizar información de un capítulo completamente diferente, así que me pregunto si me he perdido algo.

Gracias de antemano.

Answer 1

El grupo diédrico $D_{2n}$ contiene un subgrupo $C_n$ de orden $n$ . Todos los demás elementos son involuciones (es decir, son de orden $2$ ). Por tanto, cualquier subgrupo cíclico de $D_{2n}$ es de orden $2$ o del orden de la división $n$ .