Cardenales transfinitos y poder expresivo

Question

Consideremos un lenguaje con un léxico suficientemente rico como para que, para cada cardinal (finito y transfinito) K, sea posible expresar la afirmación de que existen K-muchos objetos. Dos tipos generales de preguntas:

(1) En general, ¿qué tipo de lenguajes (si es que hay alguno) son capaces de expresar tales afirmaciones? ¿Y qué aspecto tienen las frases que expresan tales afirmaciones?

(2) Sea L un lenguaje de este tipo, K algún cardinal, y S(K) la frase L que dice que hay K-muchas cosas. ¿Cuántos modelos tiene S(K)?

Supongo que el lenguaje no puede ser el de la lógica de primer orden, ya que ninguna oración de primer orden tiene por modelos sólo las estructuras infinitas (y por lo tanto no puede expresar que Existen infinitos objetos), pero mis conocimientos de lógica y teoría de conjuntos son demasiado escasos para saber cómo proceder.

Answer 1

La respuesta que busca es probablemente $L_{\infty\infty}$ que es la lógica que se obtiene al permitir cualquier cuantificador conjunto-múltiple y disyunciones.

Entonces un expreso que dice que hay $\kappa$ objetos de un determinado tipo sería simplemente ${\large\exists}_{\alpha<\kappa}x_\alpha(\bigwedge_{\alpha<\beta<\kappa}x_\alpha\neq x_\beta\land\bigwedge_{\alpha<\kappa}\varphi(x_\alpha))$ donde $\varphi$ es la propiedad deseada (si quieres escribir "exactamente" tienes que añadir que para todos los $y$ satisfaciendo $\varphi$ , $\bigvee_{\alpha<\kappa}y=x_\alpha$ también).

La respuesta a cuántos modelos puede ser difícil de responder "sin más" sin más información. Podría ser cero modelos si la propiedad es totalmente incoherente, o un modelo si se detallan propiedades lo suficientemente sofisticadas, o un modelo de clase (que no es realmente un modelo en el sentido habitual del término, ya que su universo no es un conjunto), o podría ser que simplemente haya muchos modelos de clase de la teoría en diferentes cardinalidades.

Después de aprender un poco más de teoría de conjuntos y teoría de modelos, es posible que desee consultar las partes pertinentes en:

J. Barwise, S. Feferman, editores, Lógica teórica de modelos (Nueva York: Springer-Verlag, 1985)