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Función algebraica sobre campo primo para asignar números a un mapa binario

Estoy trabajando con un campo principal GF(p) donde el primer p tiene la forma p=kn+1 para algunos n que es un poder de 2 .

Mi pregunta es: ¿es posible idear una función algebraica sobre dicho campo que asigne un número específico a 1 y todos los demás números a 0 . Por ejemplo, f23(x) se evaluaría a 1 para x=23 y a 0 para todos los demás x .

Algo relacionado: Puedo utilizar la siguiente función para asignar todos los números de impar a 1 y todos los números pares a 0 :

fodd(x)=1rx2

donde r es el 2nd raíz de la unidad.

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Por el pequeño teorema de Fermat n^{p-1}\equiv1\pmod p siempre que p\nmid n . Esto significa que el polinomio f_a(x)=1-(x-a)^{p-1} toma el valor 1 en x=a pero f(x)=0 para todos x\in GF(p), x\neq a .

Cabe hacer algunas observaciones

  • La función tiene p-1 ceros, por lo que ningún polinomio de grado inferior servirá.
  • Se puede generalizar fácilmente a todos los campos finitos. Para obtener el mismo resultado sobre GF(q), q=p^n , sólo tiene que utilizar q-1 en el exponente.
  • El mismo resultado puede obtenerse mediante la fórmula de interpolación de Lagrange. Sólo que en el caso de un campo finito es más fácil utilizar la ciclicidad del grupo multiplicativo.
  • Existe la variante obvia de varias variables f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\prod_{j=1}^n(1-(x_j-a_j)^{p-1}) que toma el valor 1 en el punto prescrito (x_1,x_2,\ldots,x_n)=(a_1,a_2,\ldots,a_n) y el valor 0 siempre que (x_1,x_2,\ldots,x_n)\neq(a_1,a_2,\ldots,a_n) .

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