Función algebraica sobre campo primo para asignar números a un mapa binario

Question

Estoy trabajando con un campo principal $\operatorname{GF}(p)$ donde el primer $p$ tiene la forma $p=kn+1$ para algunos $n$ que es un poder de $2$ .

Mi pregunta es: ¿es posible idear una función algebraica sobre dicho campo que asigne un número específico a $1$ y todos los demás números a $0$ . Por ejemplo, $f_{23}(x)$ se evaluaría a $1$ para $x = 23$ y a $0$ para todos los demás $x$ .

Algo relacionado: Puedo utilizar la siguiente función para asignar todos los números de impar a $1$ y todos los números pares a $0$ :

$$ f_{odd}(x) = \frac{1 - r^x}{2} $$

donde $r$ es el $2^{nd}$ raíz de la unidad.

Answer 1

Por el pequeño teorema de Fermat $n^{p-1}\equiv1\pmod p$ siempre que $p\nmid n$ . Esto significa que el polinomio $$ f_a(x)=1-(x-a)^{p-1} $$ toma el valor $1$ en $x=a$ pero $f(x)=0$ para todos $x\in GF(p), x\neq a$ .

Cabe hacer algunas observaciones

• La función tiene $p-1$ ceros, por lo que ningún polinomio de grado inferior servirá.
• Se puede generalizar fácilmente a todos los campos finitos. Para obtener el mismo resultado sobre $GF(q), q=p^n$ , sólo tiene que utilizar $q-1$ en el exponente.
• El mismo resultado puede obtenerse mediante la fórmula de interpolación de Lagrange. Sólo que en el caso de un campo finito es más fácil utilizar la ciclicidad del grupo multiplicativo.
• Existe la variante obvia de varias variables $$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\prod_{j=1}^n(1-(x_j-a_j)^{p-1})$$ que toma el valor $1$ en el punto prescrito $(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ y el valor $0$ siempre que $(x_1,x_2,\ldots,x_n)\neq(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ .