¿Cuáles son los subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$ que son difeomorfos a $\mathbb{R}^n$

Question

Me gustaría saber si se sabe que hay una necesidad y una cantidad suficiente sobre un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ para ser difeomorfo a $\mathbb{R}^n$ :

Por ejemplo:

1. Son todos los subconjuntos abiertos en forma de estrella de $\mathbb{R}^n$ difeomorfo a $\mathbb{R}^n$ ?

2. Recíprocamente, ¿son todos los subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$ que son difeomorfos a $\mathbb{R}^n$ ¿con forma de estrella?

Gracias por sus respuestas y pruebas

Answer 1

Envié un correo electrónico a Erwann Aubry (ver la respuesta de Georges Elencwajg) y le pedí un escaneo de esta prueba del libro "Calcul Différentiel". Me respondió y me envió la prueba traducida al inglés. Ici es su documento original. Y así es como va la prueba:

Teorema. Todo conjunto abierto en forma de estrella $\Omega$ en $\mathbb{R}^n$ es $C^\infty$ -difeomorfo a $\mathbb{R}^n.$

Prueba. Por comodidad, supongamos que $\Omega$ tiene forma de estrella en $0.$

Dejemos que $F=\mathbb{R}^n\setminus\Omega$ y $\phi:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}_+$ (aquí $\mathbb{R}_+=[0,\infty)$ ) sea un $C^\infty$ -tal que $F=\phi^{-1}(\{0\}).$ (tales $\phi$ existe debido a Teorema de extensión de Whitney )

Ahora fijamos $f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n$ por la fórmula: $$f(x)=\overbrace{\left[1+\left(\int_0^1\frac{dv}{\phi(vx)}\right)^2||x||^2\right]}^{\lambda(x)}\cdot x=\left[1+\left(\int_0^{||x||}\frac{dt}{\phi(t\frac{x}{||x||})}\right)^2\right]\cdot x.$$ Claramente $f$ es suave en $\Omega.$

Hemos establecido $A(x)=\sup\{t>0:t\frac{x}{||x||}\in\Omega\}.$ $f$ envía de forma inyectiva el segmento (o rayo) $[0,A(x))\frac{x}{||x||}$ al rayo $\mathbb{R_+}\frac{x}{||x||}.$ Además $f(0\frac{x}{||X||})=0$ y $$\lim_{r\rightarrow A(x)}||f(r\frac{x}{||x||})||=\lim_{r\rightarrow A(x)}\left[1+\left(\int_0^{r}\frac{dt}{\phi\left(t\cdot\frac{rx}{||x||}\cdot||\frac{||x||}{rx}||\right)}\right)^2\right]\cdot r=\\ \left[1+\left(\int_0^{A(x)}\frac{dt}{\phi(t\frac{x}{||x||})}\right)^2\right]\cdot A(x)=+\infty.$$ De hecho, si $A(x)=+\infty,$ entonces se mantiene por una razón obvia. Si $A(x)<+\infty,$ entonces por las definiciones de $\phi$ y $A(x)$ conseguimos que $\phi(A(x)\frac{x}{||x||})=0.$ Por lo tanto, por Teorema del valor medio y el hecho de que $\phi$ es $C^1$ $$\phi\left(r\frac{x}{||x||}\right)\leqslant M(A(x)-r)$$ para alguna constante $M$ y cada $r.$ Como resultado $$\int_0^{A(x)}\frac{dt}{\phi\left(t\frac{x}{||x||}\right)}$$ diverge. Por lo tanto, deducimos que $f([0,A(x))\frac{x}{||x||})=\mathbb{R_+}\frac{x}{||x||}$ y así $f(\Omega)=\mathbb{R}^n.$

Para terminar la prueba tenemos que demostrar que $f$ tiene $C^\infty$ -inverso. Pero como corolario de la Teorema de la función inversa obtenemos que es suficiente con demostrar que $df$ desaparecer en ninguna parte.

Supongamos que $d_xf(h)=0$ para algunos $x\in\Omega$ y $h\neq 0.$ De la definición de $f$ conseguimos que $$d_xf(h)=\lambda(x)h+d_x\lambda(h)x.$$ Por lo tanto, $h=\mu x$ para algunos $\mu\neq 0$ y a partir de ahí $x\neq 0.$ Como resultado $\lambda(x)+d_x\lambda(x)=0.$ Pero tenemos que $\lambda(x)\geqslant 1$ y la función $g(t):=\lambda(tx)$ es creciente, por lo que $g'(1)=d_x\lambda(x)>0,$ lo que da una contradicción. $\square$

Answer 2

Pregunta publicitaria 1): Sí, todos los subconjuntos abiertos en forma de estrella de $\mathbb{R}^n$ son difeomorfos a $\mathbb{R}^n$ .

Esto es sorprendentemente poco conocido y existe una prueba debida a Stefan Born. Puedes encontrar esta prueba (bastante complicada) en los apuntes del curso de Dirk Ferus

http://www.math.tu-berlin.de/~ferus/ANA/Ana3.pdf

página 154, Satz 237 [Las notas están, por desgracia, en alemán]

Añadido el 30 de diciembre de 2009: Mi excelente colega Erwann Aubry me informa de que este resultado también se demuestra de forma más sencilla en la página 60 del libro de Gonnord & Tosel "Calcul Différentiel", ellipses,1998.

[Este libro está en francés, y además publicado por "ellipses", una pequeña y valiente editorial, completamente desconocida fuera de Francia porque atiende al idiosincrásico sistema académico francés].

Es de agradecer cualquier referencia en inglés honesto, en lugar de en lenguas extranjeras exóticas :)

Answer 3

Ciertamente se puede tener un conjunto difeomorfo a $\Bbb R^n$ pero no en forma de estrella. Por ejemplo, para $n=2$ el teorema del mapa de Riemann implica que cualquier conjunto abierto simplemente conectado es difeomorfo al plano. Más concretamente, se puede tomar una bola y simplemente deformarla un poco para que no sea convexa (en particular, no sea estrella-convexa) pero siga siendo difeomorfa a la bola. Por ejemplo, una letra M engrosada en dos dimensiones.

Answer 4

No, en realidad no. En la dimensión 4, por ejemplo, un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^4$ puede ser homeomorfo a $\mathbb{R}^4$ pero no difeomorfo, ya que hay exóticas lisas $\mathbb{R}^4$ que se incrustan sin problemas en $\mathbb{R}^4$ .

Pero en dimensiones diferentes a la 4, $\mathbb{R}^n$ admite una estructura suave única. Así que su condición necesaria y suficiente puede ser que el subconjunto abierto sea homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ . Probablemente no es lo que quieres oír

Answer 5

Hay varias caracterizaciones de variedades difeomorfas a R^n cuando n>4, por ejemplo, una variedad abierta que es simplemente conectada en el infinito (Stallings), o la imagen de un mapa propio de grado uno de R^n (Siebenmann), pero parece que esto no es lo que quieres. Seguramente se pueden construir toneladas de subconjuntos de R^n que son difeomorfos a R^n adjuntando "dedos" a una bola.