Prueba $\int _0^1\:e^xf\left(1-x\right)dx=\int _0^1\:e^x\left(f′\left(1-x\right)\right)dx$ .

Question

Estoy teniendo problemas con el siguiente problema, pensando en la integración por partes pero obteniendo una respuesta circular:

Dejemos que $f$ por continuo en $[0,1]$ y diferenciable en $(0,1)$ y también $f(0)=f(1)=0$ . Prueba $$\int _0^1\:e^xf\left(1-x\right)=\int _0^1\:e^x\left(f′\left(1-x\right)\right)$$

Answer 1

Utilizando la integración por partes y aprovechando el hecho $f(0)= f(1)=0$ Todo se reduce a $$\int_0^1 e^x f(1-x) \mathrm{d}x = -\int_0^1 e^x \Big(f(1-x)\Big)' \mathrm{d}x+ [e^x f(1-x)]_{0}^1 = \int_0^1 e^x f'(1-x) \mathrm{d}x$$ como se desea, después de algunas precauciones con el argumento de la $f$ y una aplicación de reglas en cadena, como $(1-x)' = -1$ .

Answer 2

Dejemos que $f(1-x)=u$ y $e^xdx=dv$ entonces $f'(1-x)\times-1dx=du$ y $e^x=v$ con integración por partes

$$\int udv=uv-\int v du$$

tenemos

$$\begin{align} \int _0^1\:e^xf\left(1-x\right)dx &= f(1-x)e^x|_0^1-\int _0^1e^xf'(1-x)\times-1dx \\ &= f(0)e^1-f(1)e^0+\int _0^1e^xf'(1-x)dx \\ &= \int _0^1e^xf'(1-x)dx \end{align}$$