$\mathcal{O}_K$ UFD $\iff h_K=1$

Question

¿Cómo podemos demostrar que, si $K$ es un campo numérico, entonces su anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ es un dominio de factorización único si y sólo si el número de clase de $K$ es 1?

Answer 1

Considera esto:

• Los ideales de $\mathcal{O}_K$ tienen una factorización única en ideales primos.

• El número de clase de $K$ es $1$ si todo ideal de $\mathcal{O}_K$ es principal.

Answer 2

Para los anillos Dedekind, PID y UFD son equivalentes. Como el anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ de un campo numérico $K$ es un anillo Dedekind, se deduce que UFD es lo mismo que PID para él, es decir, lo mismo que el número de clase $1$ .