Comprobación de la incompletitud de la métrica $\sigma(x,y) = |\arctan(x) - \arctan(y)|$

Question

Definir la métrica $\sigma(x,y) = |\arctan(x) - \arctan(y)|$ en $\mathbb{R}$ . Demuestre que esta métrica es incompleta.

Agradecería la verificación de pruebas sobre lo que tengo actualmente.

Prueba:

Arreglar $\epsilon > 0$ . Construir la secuencia $x_n = n$ para todos $n \in \mathbb{N}$ . Desde $\lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}$ podemos encontrar algunos $x$ tal que $|\arctan(x) - \frac{\pi}{2}| < \frac{\epsilon}{2}$ . Tome $N$ para ser el menor número entero mayor que $x$ .

Tenemos que demostrar que $(x_n)$ es Cauchy pero no convergente. Entonces para cualquier $x_n$ y $x_m$ con $n,m > N$ tenemos $$\sigma(x_n, x_m) = |\arctan(n) - \arctan(m)| \leq \\ |\arctan(n) - \frac{\pi}{2}| + |\arctan(m) - \frac{\pi}{2}| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$ . Por lo tanto, $x_n$ es cauchy. Pero no hay ningún punto $r \in \mathbb{R}^+$ tal que $x_n \to r$ .

Answer 1

Todas las ideas parecen estar presentes, aunque un paso importante está fuera de lugar.

Hay que empezar por definir la secuencia $x_n = n$ antes de "arreglar". $\epsilon > 0$ ".

A continuación, debe exponer su intención de probar $x_n$ es Cauchy.

Sólo entonces, aplicando la definición de una secuencia de Cauchy, se justifica "fijar $\epsilon > 0$ ", y proceder a la prueba de que $x_n$ es Cauchy.

Por lo demás, su prueba está bien.

Answer 2

Tienes que justificar tu última frase, que no hay $r\in \Bbb R$ (no $\Bbb R^+$ ) tal que $\sigma (x_n,r)\to 0.$ Hay muchas maneras de hacerlo. Por ejemplo, si $|\arctan (n)-\arctan (r)|\to 0$ entonces $\arctan (r)=\pi/2,$ que implica $r=\tan \pi/2 ,$ que es imposible.