Dejemos que $C\subset \mathbb{R}^m$ sea un conjunto no vacío, compacto y convexo. Además, sea $\|\cdot\|$ ser alguna norma y $\|\cdot\|'$ su norma dual. Es decir, para $y\in\mathbb{R}^m$ definimos: $$\|y\|'=\max_{x:\|x\|\leq1}\langle x,y\rangle.$$ Ahora definimos el hiperplano $Y$ para algunos $y\in\mathbb{R}^m $ tal que $\|y\|'=1$ y $\alpha\in\mathbb{R}$ como: $$Y=\{x\in\mathbb{R}^m:\langle y,x\rangle\leq \alpha\}.$$ Dada una $z\in C$ y $\epsilon>0$ tal que $\langle y,z\rangle\leq \alpha+\epsilon$ ¿hay siempre un $x\in C\cap Y$ tal que $\|x-z\|\leq\epsilon$ ?
Respuesta
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tal
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No. Sus suposiciones no garantizan ni siquiera que $Y \cap C$ es no vacía.
Por ejemplo, en $\mathbb R^1$ y la norma euclidiana estándar con $y = 1$ , $\alpha = 0$ y $C = \{\epsilon\}$ . Entonces $Y = (-\infty, 0]$ (por cierto, esto es un semiespacio, no un hiperplano). Y sin embargo $z = \epsilon$ cumple la condición de que $\langle y, z\rangle \leq \epsilon$ .
