La prueba más corta/elegante para $L(1,\chi)\neq 0$

Question

Dejemos que $\chi$ sea un carácter de Dirichlet y $L(1,\chi)$ la función L asociada evaluada en $s=1$ . ¿Cuál sería la prueba "más corta" de la no evanescencia de $L(1,\chi)$ ?

Antecedentes: La no evasión de $L(1,\chi)$ juega un papel esencial en la demostración del teorema de Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas. En su "Introducción a la teoría analítica de los números", T. M. Apostol ofrece una demostración elemental del hecho anterior estimando varias sumas en unos cuantos lemas en el contexto de una demostración del mencionado teorema de Dirichlet. Aunque su planteamiento tiene la ventaja de ser autocontenido y no requerir muchos antecedentes, es bastante largo. En su "Teoría analítica de los números", H. Iwaniec y E. Kowalski señalan que en la demostración original de Dirichlet la no desaparición de $L(1,\chi)$ para caracteres reales de Dirichlet es una simple consecuencia de la fórmula del número de clase de Dirichlet. Sin embargo, en ambos enfoques es necesario distinguir entre caracteres reales y complejos de Dirichlet. De ahí mis dos "sub"-preguntas:

1) ¿Existe una prueba que evite la distinción entre el caso complejo y el real?

2) ¿Existen en general otras estrategias de prueba para $L(1,\chi)\neq 0$ que pueda considerarse más corto y/o más elegante que los dos mencionados anteriormente?

Answer 1

Me gusta la prueba que aparece en el libro GTM de Newman "Analytic number theory". Él llama a su presentación una prueba natural (en oposición a "elemental" o "simple"). Esto quiere decir que la presentación hace hincapié en una secuencia motivada de pasos que ilustra cómo se podría haber descubierto. Esta prueba (así como muchas otras pruebas "simples" y "elementales") procede utilizando el lema de Landau sobre la abscisa de convergencia de las series de Dirichlet con coeficientes no negativos.

Answer 2

Hay una forma más sencilla de obtener el resultado del enfoque mencionado por K. Conrad. Se puede encontrar en la siguiente nota de 1997 de Paul T. Bateman:

Bateman, Paul T.: Un teorema de Ingham que implica que las funciones L de Dirichlet no tienen ceros con parte real uno . Educación matemática. 43 (1997), 281-284.

Answer 3

En las páginas 36-37 de Iwaniec-Kowalski hay una hermosa demostración que no utiliza nada más que manipulaciones básicas de series finitas.

Answer 4

¿Un argumento de teoría algebraica de números? Al menos cuando $\chi(n)$ es el carácter cuadrático $\bmod p$ un primo impar.

Hasta una constante es su propia transformada discreta de Fourier: $$\chi(n) = \frac{G(\chi)}{p} \sum_{k=1}^p \chi(k) e^{2i\pi kn/p}$$ para que

$$L(1,\chi) =\sum_{n\ge 1}\frac{\chi(n)}{n}= -\frac{G(\chi)}{p}\sum_{k=1}^p \chi(k) \log(1-e^{2i\pi k/p}) $$

$L(1,\chi)=0$ es lo mismo que $$\prod_{k=1,\chi(k)=1}^p (1-e^{2i\pi k/p})= \prod_{k=1,\chi(k)=1}^p (1-e^{2i\pi a k/p})\tag{1}$$ para un no-residuo cuadrático $a$ .

$\prod_{k=1,\chi(k)=1}^p (1-e^{2i\pi a k/p})$ es el único conjugado de Galois de $\prod_{k=1,\chi(k)=1}^p (1-e^{2i\pi k/p})$ .

De donde $(1)$ es lo mismo que $$\prod_{k=1,\chi(k)=1}^p (1-e^{2i\pi k/p})\in \Bbb{Q}$$ Esto es imposible porque el $p$ -Valoración de la $1-e^{2i\pi k/p}$ es $\frac1{p-1}$ así que $$v_p\left(\prod_{k=1,\chi(k)=1}^p (1-e^{2i\pi k/p})\right)=\frac12$$

Answer 5

Sé que no es una respuesta a la pregunta, sino otra pregunta (probablemente ingenua) sugerida por la pregunta original.

Me parece que demostrar el teorema de los números primos para las progresiones aritméticas no es más difícil que demostrar el teorema de la progresión aritmética solo. En otras palabras, se puede obtener el teorema de los números primos por nada.

Sé que mucha gente ya lo ha hecho (ver esto texto para las referencias), pero yo esperaría que casi todo el mundo lo hiciera, y no entiendo por qué no lo hacen.