La prueba más corta/elegante para $L(1,\chi)\neq 0$

Question

Dejemos que $\chi$ sea un carácter de Dirichlet y $L(1,\chi)$ la función L asociada evaluada en $s=1$ . ¿Cuál sería la prueba "más corta" de la no evanescencia de $L(1,\chi)$ ?

Antecedentes: La no evasión de $L(1,\chi)$ juega un papel esencial en la demostración del teorema de Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas. En su "Introducción a la teoría analítica de los números", T. M. Apostol ofrece una demostración elemental del hecho anterior estimando varias sumas en unos cuantos lemas en el contexto de una demostración del mencionado teorema de Dirichlet. Aunque su planteamiento tiene la ventaja de ser autocontenido y no requerir muchos antecedentes, es bastante largo. En su "Teoría analítica de los números", H. Iwaniec y E. Kowalski señalan que en la demostración original de Dirichlet la no desaparición de $L(1,\chi)$ para caracteres reales de Dirichlet es una simple consecuencia de la fórmula del número de clase de Dirichlet. Sin embargo, en ambos enfoques es necesario distinguir entre caracteres reales y complejos de Dirichlet. De ahí mis dos "sub"-preguntas:

1) ¿Existe una prueba que evite la distinción entre el caso complejo y el real?

2) ¿Existen en general otras estrategias de prueba para $L(1,\chi)\neq 0$ que pueda considerarse más corto y/o más elegante que los dos mencionados anteriormente?

Answer 1

Me gusta la prueba de Paul Monsky: 'Simplificando la demostración del teorema de Dirichlet' American Mathematical Monthly, Vol. 100 (1993), pp. 861-862.

Naturalmente, esto mantiene la distinción entre real y complejo ya que, hagas lo que hagas, el caso complejo siempre parece ser más fácil ya que uno tendría dos funciones L que desaparecen por el precio de una.

Incorporé este argumento en mi nota sobre una prueba de "variable real" del teorema de Dirichlet en http://secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/dirichlet.pdf .

Hay pruebas, especialmente en la obra de Serre Curso de Aritmética que pretenden equiparar el caso real y el complejo. Pero esto es una ilusión; pretende que el caso complejo es tan difícil como el caso real. Serre considera el producto $\zeta_m(s)=\prod L(s,\chi)$ donde $\chi$ se extiende sobre el módulo $m$ Caracteres de Dirichlet. Si uno de los $L(1,\chi)$ se desvanece entonces $\zeta_m(s)$ está acotado como $s\to 1$ y Serre obtiene una contradicción utilizando el teorema de Landau sobre la abscisa de convergencia de una serie de Dirichlet positiva. Pero todo esta sutileza sólo es necesaria para el caso de los $\chi$ . En el caso no real caso, al menos dos de los $L(1,\chi)$ se desvanecen para que $\zeta_m(s)\to0$ como $s\to1$ . Pero es elemental que $\zeta_m(s)>1$ de verdad $s>1$ y la contradicción es inmediata, sin necesidad del sutil resultado de Landau.

Añadido (25/5/2010) Me gusta el método Ingham/Bateman. Es superficialmente elegante, pero como dije en los comentarios, hace que el caso complejo sea tan difícil como el real. De nuevo se reduce a utilizar el resultado de Landau o una opción de otras trucos. Lo que hay que mirar no es $\zeta(s)^2L(s,\chi)L(s,\overline\chi)$ pero $$G(s)=\zeta(s)^6 L(s,\chi)^4 L(s,\overline\chi)^4 L(s,\chi^2)L(s,\overline\chi^2)$$ (véase la famosa prueba de la no evanescencia de $\zeta$ en $s=1+it$ por Mertens). A menos que $\chi$ es de valor real esta función desaparecerá en $s=1$ si $L(1,\chi)=0$ . Pero uno muestra que $\log G(s)$ es un Dirichlet con coeficientes no negativos y obtenemos una contradicción inmediata sin necesidad de lemas sutiles. De nuevo se demuestra que el caso real es el difícil. Para el caso real $\chi$ entonces $G(s)=[\zeta(s)L(s,\chi)]^8$ mientras que Ingham/Bateman nos hace considerar $[\zeta(s)L(s,\chi)]^2$ . Esto nos lleva a la constatación de que, para ser real $\chi$ deberíamos mirar $\zeta(s)L(s,\chi)$ que es la función zeta de Dedekind de un campo cuadrático. (Así que si uno quiere demostrar la no evanescencia mostrando que una función zeta de Dedekind tiene un polo, bastan los campos cuadráticos, y no hay que molestarse con los campos ciclotómicos). campos ciclotómicos).

Pero podemos hacer más. Dejemos que $t$ sea real y considere $$G_t(s)= \zeta(s)^6 L(s+it,\chi)^4 L(s-it,\overline\chi)^4 L(s+2it,\chi^2)L(s-2it,\overline\chi^2).$$ A menos que ambos $t=0$ y $\chi$ es real, si $L(1+it,\chi)=0$ se obtiene una contradicción igual que antes. Así que la no desaparición de cualquier $L(s,\chi)$ en la línea $1+it$ es fácil excepto en $1$ de verdad $\chi$ . ¡Este caso especial parece ser realmente más profundo!

Añadido (26/5/2010) El argumento que he esbozado con la función $G_t(s)$ es bien conocido por extender a una prueba para una región libre de cero de la función L a la izquierda de la línea $1+it$ . Por lo menos lo hace cuando, a menos que $t=0$ y $\chi$ es de valor real. En ese caso se rompe y se produce el fenómeno del cero de Siegel; el posible cero de $L(s,\chi)$ para $\chi$ de valor real, justo a la izquierda de $1$ en la línea real. Así que la dificultad adicional de probar $L(1,\chi)\ne0$ para $\chi$ de valor real se debe a la persistente intratabilidad de demostrar que los ceros de Siegel nunca existen.

Answer 2

Es fácil demostrar que no se puede tener dos personajes reales $\chi, \chi'$ con $L(1,\chi)=L(1,\chi')=0$ como entonces $\zeta(s) L(s,\chi) L(s,\chi') L(s,\chi \chi')$ tendría un simple cero en s=1 mientras tiene coeficientes no negativos, lo cual es absurdo. Se trata, por supuesto, de una variante menor del argumento que descarta la desaparición para un carácter complejo (y su conjugado complejo). La intuición aquí es que es casi concebible que los primos conspiren para estar casi totalmente correlacionados (o más precisamente, anticorrelacionados) con un carácter, pero no con dos; véase esta entrada de mi blog .

En cierto sentido, el hecho de que $L(1,\chi) \neq 0$ con una sola excepción, es lo mejor que se puede hacer sin introducir métodos de teoría algebraica de los números (fórmula del número de clase) o sin alejarse de s=1 (en particular, utilizando información de s=1/2); esto se discute en este papel de Granville .

El hecho de que nadie sepa cómo hacer efectivas las constantes del teorema de Siegel (el de los ceros de Siegel) me parece un límite superior importante en cuanto a la brevedad o elegancia de una demostración conocida de $L(1,\chi) \neq 0$ puede ser; en algún momento hay que realizar alguna maniobra que es muy costosa con respecto a los límites efectivos (por ejemplo, mover la atención de s=1 a s=1/2, o acotar el número de clase desde abajo por 1).

Answer 3

Mi prueba preferida es considerar $Z(s) := \prod_{\chi} L(\chi, s)$ donde el producto es sobre todos los caracteres de $\mathbb{Z}/n$ , incluyendo el carácter trivial. Es fácil ver que $L(s, \chi)$ es meromorfo cerca de $s=1$ y analítica para $\chi$ no trivial. Por lo tanto, si alguno de los $L(1,\chi)$ eran cero, entonces $Z(s)$ sería analítica cerca de $1$ .

Pero $Z(s)$ es el $\zeta$ -función de $\mathbb{Z}[\zeta_n]$ . Si conoce la fórmula del número de clase para $\mathbb{Z}[\zeta_n]$ entonces usted sabe inmediatamente que $Z(s)$ tiene un polo en $s=1$ . Creo que el mejor enfoque es probar esta fórmula de número de clase.

Si quieres, también puedes utilizar la idea de la prueba del número de clase pero recortando algunas esquinas. A saber:

1. Descartar los primos que dividen $n$ de los productos de Euler. La modificación $Z(s)$ es la función generadora de ideales $\mathbb{Z}[\zeta_n]$ que son relativamente primordiales para $n$ y eso también funciona. Esto significa que sólo tienes que analizar cómo factorizan los primos no ramificados.

2. Tenemos $Z(s) = \sum_I |I|^{-s}$ donde la suma es sobre todos los ideales no nulos. Podemos acotar esto a continuación por la suma sobre los ideales principales. Eso ya se infla como $s \to 1^{+}$ .

3. Sólo hay que demostrar que el grupo unitario de $\mathbb{Z}[\zeta_n]$ es discreto, que es la parte fácil del teorema de la unidad de Dirichlet. Si hubiera menos unidades de las que predice el teorema de la unidad, la suma explotaría aún más rápido.

He cortado estas esquinas al presentar la idea de la prueba del número de clase sobre el té; pero probablemente daría la prueba correcta si estuviera dando una clase.

Answer 4

Ya se han dado variantes de la prueba que voy a dar; aquí está "el resto de la historia".

Dejemos que $\chi$ sea un carácter cuadrático con conductor $m$ . Entonces $L(s,\chi) \zeta(s) = \zeta_K(s)$ es la función zeta de Dedekind del campo numérico cuadrático $K$ cuya ley de descomposición viene determinada por $\chi$ (tenemos $K = {\mathbb Q}(\sqrt{ \pm m})$ para una elección adecuada del signo), por lo que $\zeta_K(s) = \sum c_n n^{-s}$ , donde $c_n$ denota el número de ideales con norma $n$ . En particular, $c_n \ge 0$ y $c_{n^2} \ge 1$ desde $(n)$ tiene norma $n$ . Si tuviéramos $L(1,\chi) = 0$ este cero anularía el polo de $\zeta(s)$ y $\zeta_K(s)$ sería analítica para todos los $s$ con parte real $> 0$ Por otro lado, la divergencia de la serie armónica implica que $\zeta_K(s)$ se separa en $s = \frac12$ .

Ahora podemos eliminar el fondo observando que $c_n = \sum_{d \mid n} \chi(d)$ . Podemos demostrar directamente que $c_n \ge 0$ y $c_{n^2} \ge 1$ y demostrar que $\sum c_n n^{-1/2}$ diverge. Una manipulación ligeramente técnica pero elemental muestra que $$ \sigma = \sum_{t = 1}^{n^2} \frac{c_t}{\sqrt{t}} = 2n L(1,\chi) + O(1). $$ Si tuviéramos $L(1,\chi) = 0$ esta suma estaría acotada: contradicción.

Con un poco más de esfuerzo, pero con medios totalmente elementales, podemos demostrar que
$$ \log n < \sigma < 2n L(1,\chi) + 6\phi(m) + 1, $$ de lo que podemos deducir fácilmente que $$ L(1,\chi) > \frac12 e^{-6 \phi(m) - 2}. $$ Este es un límite inferior pésimo, pero nos da lo que queremos.

La idea básica de esta prueba se debe a Mertens a finales de la década de 1890. Fue la primera demostración del teorema de Dirichlet que no utilizó la ley de reciprocidad cuadrática (Dirichlet demostró que los caracteres cuadráticos $\chi$ podría escribirse de la forma $\chi(a) = (\frac{m}{a})$ y luego demostró que $L(1,\chi)$ es un producto de términos no nulos que incluye el número de clase del campo numérico cuadrático $K$ ), y por lo tanto fue posible utilizar el teorema de Dirichlet para cerrar la brecha en la prueba de Legendre (el hecho de que esto ya había sido logrado por Kummer no había sido notado por entonces). Mertens [Wiener Berichte 106 (1897), 254-286; J. Reine Angew. Math. 117 (1897), 169-184] no partió de la función zeta de Dedekind, sino de la prueba de Dirichlet de que $$\sum_{n=1}^N d(n) = N \log N + (2\gamma - 1) + O(\sqrt{N}), $$ donde $d(n)$ denota la suma de los divisores de $n$ . Dirichlet demostró este resultado más o menos al mismo tiempo que su teorema sobre los primos en la progresión aritmética; admitió que su primera demostración de la no evanescencia de su serie L era complicada, por lo que la abandonó por completo y la sustituyó por su demostración de la fórmula del número de clase. No es improbable que su primera prueba perdida de la no evanescencia contuviera elementos de la idea de Mertens.

Hay fragmentos de esta historia en las Vorlesungen über Zahlentheorie de Hasse, en las conferencias de Siegel sobre teoría analítica de números (en alemán; ¿se han traducido al inglés?) y en el libro de Zagier sobre campos y formas cuadráticas (también en alemán).

Answer 5

Me gusta mucho la prueba de Serre Curso de aritmética que he reescrito ligeramente como sección 3 de

http://math.uga.edu/~pete/4400DT.pdf

Se basa en un simple hecho analítico sobre la convergencia de las series de Dirichlet con coeficientes no negativos debido a Landau: véase el teorema 18 en la página 13 de

http://math.uga.edu/~pete/4400dirichlet.pdf

En particular, esta prueba no no requieren la consideración por separado de personajes reales y complejos.