Hace $\Bbb{CP}^{2n} \mathbin{\#} \Bbb{CP}^{2n}$ ¿alguna vez soportó una estructura casi compleja?

Question

Esta cuestión ya ha sido crossposted a MathOverflow, con la esperanza de que llegue a un público más amplio allí.

$\Bbb{CP}^{2n+1} \mathbin{\#} \Bbb{CP}^{2n+1}$ soporta una estructura compleja: $\Bbb{CP}^{2n+1}$ tiene un difeomorfismo de inversión de orientación (¡conjugación compleja!), por lo que es difeomorfo a la explosión de $\Bbb{CP}^{2n+1}$ en un momento dado.

Por otro lado, $\Bbb{CP}^2 \mathbin{\#} \Bbb{CP}^2$ ni siquiera soporta una estructura casi compleja: La fórmula de Noether exige que su primera clase de Chern $c_1^2 = 2\chi + 3\sigma = 14$ pero si $c_1 = ax_1 + bx_2$ (donde $x_1, x_2$ generar $H^2$ , $x_1^2 = x_2^2$ es el generador positivo de $H^4$ y $x_1x_2 = 0$ ), entonces $c_1^2 = a^2 + b^2$ y no se puede escribir $14$ como una suma de dos cuadrados.

Usando un facsímil de mayor dimensión de la misma prueba, escribí una prueba aquí que $\Bbb{CP}^4 \mathbin{\#} \Bbb{CP}^4$ no admite una estructura casi compleja. Sin duda, los cálculos con un argumento similar se volverían absurdos si aumentara más la dimensión.

¿Puede cualquier $\Bbb{CP}^{2n} \mathbin{\#} \Bbb{CP}^{2n}$ soportar una estructura casi compleja?

Answer 1

La pregunta ha sido respondida en el crosspost de mathoverflow por Panagiotis Konstantis. Copio esta respuesta aquí para cerrar la pregunta.

El $m$ -suma conectada doble $m\# {\mathbb{CP}}^{2n}$ admite un casi estructura compleja si y sólo si $m$ es impar, como mostramos en nuestro reciente [preprint][1]. (Por cierto, gracias a Mike por esta interesante pregunta, que nos motivó a escribir el artículo).

He aquí un breve resumen de la idea de la prueba. Nuestra herramienta principal es un resultado de Sutherland resp. Thomas de los años 60 que nos dice cuando una estructura estable estructura casi compleja estable es inducida por una estructura casi compleja honesta honesta: este es el caso si su clase de Chern superior es igual a la clase de Euler del colector.

Como la suma conectada de variedades que admiten un casi complejo estable admite una estructura estable casi compleja, tenemos ciertamente estructuras estables casi complejas estables en $m\# {\mathbb{CP}}^{2n}$ a nuestra disposición, y podemos comprender el conjunto completo de todas esas estructuras determinando explícitamente determinando explícitamente el núcleo del mapa de reducción de complejo a real K-teoría. A continuación, calculamos la clase de Chern superior de todas estas estructuras: Por suerte para nosotros, resulta que para demostrar la inexistencia de estructuras casi complejas para incluso $m$ basta con calcular su módulo 4 y compararlo con la característica de Euler de $m\# > {\mathbb{CP}}^{2n}$ . Para impar $m$ Encontramos explícitamente una estabilidad casi estable para la que se cumple el criterio anterior.

[1]: https://arxiv.org/pdf/1710.05316.pdf