Varianza de la suma cuadrada de variables aleatorias i.i.d.

Question

$X_1, X_2, ..., X_n$ son i.i.d variables aleatorias con media cero y varianza unitaria. Sea $X = \sum_{i=1}^n X_i$ Quiero expresar $\mathrm{Var}[X^2]$ en términos de $n$ , $\mathrm{E}[X_1^4]$ y constantes.

Puedo hacer los siguientes progresos:

$$\mathrm{Var}[X^2] = \mathrm{E}[X^4] - \mathrm{E}[X^2]^2$$ $$ = \mathrm{E}[X^4] - (\mathrm{Var}[X] + \mathrm{E}[X]^2)^2$$ $$ = \mathrm{E}[X^4] - (n\mathrm{Var}[X_1] + 0)^2$$ $$ = \mathrm{E}[X^4] - n^2$$

Pero entonces estoy perdido en cómo enfocar el $\mathrm{E}[X^4]$ término. Sé que se puede ampliar en $\sum_i \sum_j \sum_k \sum_l \mathrm{E}[X_i X_j X_k X_l]$ pero no sé cómo se puede simplificar más.

Answer 1

Para el cuarto momento de la suma $X$ tenemos

\begin{align*} \mathbb{E}[X^4] &= \sum_{i,j,k,l} \mathbb{E}[X_i X_j X_k X_l]. \end{align*}

Lo que complica el cálculo es el solapamiento de los índices. Pero una observación crucial es que, si un índice es diferente de todos los demás, el término desaparece. Por ejemplo, si $i \notin \{j, k, l\}$ entonces $X_i$ es independiente de $X_j X_k X_l$ y por lo tanto

$$ \mathbb{E}[X_i X_j X_k X_l] = \mathbb{E}[X_i] \mathbb{E}[X_j X_k X_l] = 0. $$

Así que eliminando todos esos términos de la suma, cualquier término que sobreviva debe satisfacer que para cada índice $i$ hay otro índice que tiene el mismo valor que $i$ . Esto deja sólo dos casos posibles:

• Caso 1. Podemos tener $i = j = k = l$ . En este caso, tenemos $\mathbb{E}[X_i X_j X_k X_l] = \mathbb{E}[X_1^4]$ .

• Caso 2. Podemos emparejar los índices de manera que los índices de diferentes pares tengan valores diferentes. Así que tenemos $\mathbb{E}[X_i X_j X_k X_l] = \mathbb{E}[X_1^2]^2$ .

Por lo que se deduce que

$$ \mathbb{E}[X^4] = n \mathbb{E}[X_1^4] + 3n(n-1)\mathbb{E}[X_1^2]^2. $$

Puede seguir simplemente enchufando $\mathbb{E}[X_1^2] = 1$ que se desprende de la suposición.

Answer 2

Ha llegado a la solución, ya que el resultado final debe ser en términos de $n$ y $E[X_1^4]=E[X^4]$ .