Si una variable aleatoria es una función, entonces cómo definimos una función de una variable aleatoria

Question

A veces he visto las fórmulas tales que $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var} X$ y $EX^2=\sum_{x=0}^nx^2\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$ . Pero, ¿cómo definimos $aX+b$ y $X^2$ si, por ejemplo $X\sim \operatorname{binomial}(n,p)$ ¿se da? O en el caso general.

Answer 1

Como ejemplo, suponga que lanza una moneda justa diez veces y que $X$ es el número de cabezas. Entonces, a veces tendrá 5 veces cara, a veces 6 cabezas ... de los 10 lanzamientos de la moneda.

El número de caras de 10 lanzamientos de moneda es, por tanto, el siguiente al azar No se puede decir de antemano cuántas cabezas se tendrán, sin embargo se sabe "algo" al respecto: debe estar entre 0 y 10 cabezas, y para cada resultado se puede calcular la probabilidad de que ocurra, nl la probabilidad de observar, por ejemplo, 4 cabezas es $\binom{10}{4}0.5^4(1-0.5)^{10-4}$ .

En este caso, si se denota el número de caras que se obtiene en diez lanzamientos de moneda como $X$ entonces $X$ es una variable binomial de tamaño 10 y con una probabilidad de éxito de $p=50\%$ así que $X \sim Bin(n=10,p=0.5)$ .

Ahora, analicemos esto más a fondo: si lanzo diez monedas, entonces puedo tener 4 cabezas de varias maneras : HHHHTTTTTT (Cabeza=H, T= no cabeza), pero también TTTTTTHHHH, ...

Así pues, la variable aleatoria es una función que "mapea" las combinaciones de diez H/T en un número, a saber, el número de H entre las 10. Esto es lo que se entiende por $X: S\to \mathbb{R}$ el conjunto $S$ es el conjunto de todas las posibles n-tuplas (n=10) de H,T's y una de estas n-tuplas se mapea en un número real (por lo tanto $S \to \mathbb{R}$ ) contando el número de H entre las 10.

Así que $X$ asigna, por ejemplo, "HTTTTTTT" a $1$ o $X(HTTTTTTTTT)=1$ , $X(HHHHHHHHHH)=10$ , ...

Tenga en cuenta que el resultado puede ser $1$ en varias n-tuplas H,T, HTTTTTTT, THTTTTTT, ... o en términos de funciones, la inversa de $1$ bajo la función $X$ es un conjunto de n-tuplas: $X^{-1}(1)=\{HTTTTTTTTT,THTTTTTTTT, \dots TTTTTTTTTH \}$ y si ahora se observan las densidades binomiales, entonces el hecho de que $X^{-1}(1)$ es un conjunto es excatamente la razón del factor $\binom{n}{x}$ en su fórmula.

Así pues, una variable aleatoria es un mapa que asigna el resultado de un experimento aleatorio a un número real.

Lo que ahora es la variable aleatoria $5X$ ?

Bueno, es una variable aleatoria que es el número de caras (en 10 lanzamientos de monedas) multiplicado por 5. Es una variable aleatoria porque no se puede saber de antemano cuál será el resultado, se conocen los posibles resultados (0, 5, 10, ... 50) y para cada resultado se puede calcular la probabilidad.

El variable aleatoria $5X$ es un mapa (una función) del conjunto de las posibles combinaciones de diez H/T sobre un número, a saber, cinco veces el número de H entre todas las 10 .

Answer 2

Si $X$ es una variable aleatoria, lo que significa que $X$ es una función de un espacio muestral $S$ a los números reales. Si $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ podemos definir una nueva variable aleatoria $Y=g(X)$ , de modo que si $s\in S$ y $X(s)=x$ entonces $Y(s)=g(x)$ .

Así que, como ejemplo concreto, dejemos que $X$ sea una variable aleatoria que represente el número de cabezas que salen en dos lanzamientos, y sea $Y=X^2$ . Entonces tenemos

s    | X(s) | Y(s)
TT   |   0  |    0  
TH,HT|   1  |    1  
TT   |   2  |    4