Es esta una condición suficiente para que dos de los espacios que se homeomórficos; prueba o contador de ejemplo, por favor.

Question

Deje $X$ $Y$ ser espacios topológicos. deje $f: X \to Y$$g: Y \to X$. Se supone que ambas $f$ $g$ son continuas bijections. Podemos decir que el $X$ $Y$ son homeomórficos? Si no hay hipótesis que podemos colocar en los espacios así que sabemos que esto es cierto? (Como vamos a $X$ $Y$ ser Hausdorff, por ejemplo.) Entiendo que no es inmediatamente obvio que esto debe ser cierto, pero no se puede pensar de un contraejemplo.

Básicamente me estoy preguntando si hay un Cantor–Schroeder–Teorema de Bernstein para homeomorphisms.

He estado hablando con varios compañeros y tener una posible simplificación. Deje $X = Y$; deje $T$ $S$ dos toplogies en $X$ y deje $f:(X,T)\to(X,S)$ ser el mapa de identidad. Entonces podemos concluir $S$ está contenido en $T$ o $T$ es más fino que el de $S$ si usted lo prefiere.

Gracias por sus pensamientos.

Answer 1

No; ver la contraejemplos en este MathOverflow hilo.

Gerhard Paseman da este contraejemplo:

Deje $X = Y = \mathbb{Z} \times \{0,1\}$. Declaramos que los siguientes subconjuntos de a $X$ están abiertas para cada una de las $n>0$: $$\{(-n,0)\},\quad \{(-n,1)\},\quad \{(0,0)\},\quad \{(0,0),(0,1)\},\quad \{(n,0),(n,1)\}$$ Esta es una base para una topología en $X$.

Declaramos que los siguientes subconjuntos de a $Y$ están abiertas para cada una de las $n>0$: $$\{(n,0)\},\quad \{(n,1)\},\quad \{(0,0),(0,1)\},\quad \{(n,0),(n,1) \} $$ This is a basis for a topology on $$ Y.

Definir $f:X\to Y$$g:Y\to X$$f((n,i))=(n,i)$$g((n,i))=(n+1,i)$. A continuación, $f$ $g$ son continuas bijections, sino $X$ $Y$ no homeomórficos.

Scott Carnahan da este contraejemplo:

Aquí una escala analógica de Gerhard Paseman la respuesta: Vamos a $X$ $Y$ ser espacios topológicos cuyo subyacente conjuntos de $\mathbb{R}$. Como espacios topológicos, $X$ es distinto de la unión de el intervalo abierto $(0,\infty)$ discretos en el espacio en el que los puntos de valor no positivo de reales, mientras que $Y$ es distinto de la unión de $(-1,0)$, $(1,\infty)$, y discretos en el espacio en el que los puntos forman el complemento de los intervalos. Traducción mediante la adición de uno es un continuo bijection de$X$$Y$, y también un continuo bijection de$Y$$X$, pero los dos espacios no son homeomórficos.