Encontrar todas las funciones continuas $ f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)+2 f(x) f(y)}{1-f(x) f(y)} $

Question

pregunta -

Encontrar todas las funciones continuas $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación $$ f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)+2 f(x) f(y)}{1-f(x) f(y)} $$ para todos $x, y$

mi intento - he demostrado que f(0)=0 ..entonces la pista dice que se sustituya $g(x)=f(x) /(1+f(x))$ .. No entiendo cómo usar esta pista... he sustituido en la ecuación original y simplificado muchas cosas pero nada parece útil...

¿alguna pista? ...y cómo se puede pensar que tenemos que sustituir esto...

Answer 1

Usando la pista dada, obtenemos, $$g(x)=\dfrac{f(x)}{1+f(x)}\\ \implies f(x)=\dfrac{g(x)}{1-g(x)}\\ \implies \dfrac{g(x+y)}{1-g(x+y)}=\dfrac{\dfrac{g(x)}{1-g(x)}+\dfrac{g(y)}{1-g(y)}+\dfrac{2g(x)g(y)}{(1-g(x))(1-g(y))}}{1-\dfrac{g(x)g(y)}{(1-g(x))(1-g(y))}}\\ \implies \dfrac{g(x+y)}{1-g(x+y)}=\dfrac{g(x)(1-g(y))+g(y)(1-g(x))+2g(x)g(y)}{1-g(x)-g(y)}\\ \implies\dfrac{g(x+y)}{1-g(x+y)}=\dfrac{g(x)+g(y)}{1-g(x)-g(y)}\\ \implies \dfrac{g(x+y)}{1-g(x+y)}+1=\dfrac{g(x)+g(y)}{1-g(x)-g(y)}+1\\ \implies \dfrac{1}{1-g(x+y)}=\dfrac{1}{1-g(x)-g(y)}\\ \implies \boxed{g(x+y)=g(x)+g(y)}$$

Ahora usa este .

Answer 2

Como se ha sugerido, dejemos que $g(x)=\frac{f(x)}{1+f(x)}$ . Entonces $f(x)=\frac{g(x)}{1-g(x)}$ . Así, $$\frac{g(x+y)}{1-g(x+y)}=\frac{\frac{g(x)}{1-g(x)}+\frac{g(y)}{1-g(y)}+2\frac{g(x)}{1-g(x)} \cdot \frac{g(y)}{1-g(y)}}{1-\frac{g(x)}{1-g(x)} \cdot\frac{g(y)}{1-g(y)}}=\frac{g(x)+g(y)}{1-(g(x)+g(y))}.$$ Así que $$\frac{g(x+y)}{1-g(x+y)}=\frac{g(x)+g(y)}{1-(g(x)+g(y))}.$$ Dado que la función $\frac{t}{1-t}$ es monótona, concluimos de la igualdad anterior que $$g(x+y)=g(x)+g(y).$$ Así, $g(x)$ es una función lineal con $g(0)=0$ y por lo tanto $g(x)=mx$ para algunos $m \in \mathbb{R}$ . Por lo tanto, si $$f(x)=\frac{mx}{1-mx}, m \in \mathbb{R},$$ entonces la identidad en el enunciado del problema se mantendrá para los puntos del dominio de las funciones en los lados izquierdo y derecho, es decir $$x,y \neq \frac{1}{m}, \ \ x+y \neq \frac{1}{m}.$$ Si el problema realmente quiere que la identidad se satisfaga para todos $x,y \in \mathbb{R}$ entonces el dominio de $f$ tiene que ser todo $\mathbb{R}$ y, por tanto, la única función que satisface los supuestos es $f=0$ (m=0).