Cómo demostrar que $a^1 \simeq a$ para todos $C$ -objetos $a$ en una categoría cerrada cartesiana? (sólo se necesita una dirección de prueba de isomorfismo)

Question

Ya he demostrado que $a \times 1 \simeq 1 \times a \simeq a$ dado un objeto terminal $1$ de una categoría cerrada cartesiana $C$ (CCC). Por CCC quiero decir que $C$ es finitamente completa y tiene exponenciación (de acuerdo con la Topoi ).

Si se toma el diagrama universal del producto para $a \times 1$ para que uno de los lados triangulares sea en realidad el diagrama exponencial que buscamos, entonces tienes lo siguiente.

Dibujado con: https://tikzcd.yichuanshen.de/ .

Como puedes ver, he hecho un sentido del isomorfismo en la imagen. ¿Cómo puedo demostrar que $(\hat{g} \times 1_1) \circ k = 1_{a^1 \times 1}$ ¿pero? La confusión viene de no estar seguro de dónde está el mapa de productos $\hat{g} \times 1_1$ viene porque si lo hiciera entonces tendría las dos flechas del proyector $p,q$ y luego $\hat{g} \times 1_1 = \langle \hat{g} \circ p, 1_1 \circ q \rangle = $ el mapa de productos para el objeto ?

Me gustaría completar la prueba tal cual, así que no se permite apelar al lema de Yoneda aquí.

Answer 1

Aunque has dicho que no se permite apelar a Yoneda, me siento obligado a mostrar lo mucho más fácil que es la prueba cuando permitimos Yoneda. Estoy seguro de que has visto esto, pero lo incluiré de todos modos:

$$ \text{Hom}(x, a^1) \cong \text{Hom}(x \times 1, a) \cong\text{Hom}(x,a)$$

El primer isomorfismo se desprende de la adjunción, el segundo del isomorfismo que ya conoces ( $x \times 1 \cong x$ ). Dado que $x$ era arbitraria, podemos concluir $a^1 \cong a$ por Yoneda.

---

Ahora que eso está fuera de mi sistema, podemos contrastarlo con una prueba sin Yoneda:

Para una de las direcciones, utilizaremos el conditio $\varepsilon$ que está llamando $\text{ev}$ . Podemos usar esto para obtener un mapa (que usted encontró correctamente):

$$ a^1 \xrightarrow{~\sim~} a^1 \times 1 \xrightarrow{~\varepsilon~} a $$

Como suele ocurrir en la teoría de categorías, si conseguimos la mitad de una iso utilizando alguna construcción, deberíamos intentar conseguir la otra mitad utilizando el dual de esa construcción. Así que consultemos la unidad (mucho menos apreciada) $\eta$ de la unión. Esto nos da un mapa:

$$ a \xrightarrow{~\eta~} (a \times 1)^1 \xrightarrow{~\sim~} a^1 $$

Os dejo que comprobéis que son mutuamente inversas, y que la iso obvia de $(a \times 1)^1 \cong a^1$ es en realidad una iso.

Editar:

Para responder a la pregunta de los comentarios, vamos a trabajar sólo con la siguiente afirmación de Yoneda:

$$\text{Nat}(\text{Hom}(\cdot,a),F) \cong F(a).$$

Entonces, en particular, $\text{Nat}(\text{Hom}(\cdot,a),\text{Hom}(\cdot,b)) \cong \text{Hom}(a,b)$ . Es decir, toda transformación natural de $\text{Hom}(\cdot,a)$ a $\text{Hom}(\cdot,b)$ es de la forma $f \circ -$ para algunos $f \in \text{Hom}(a,b)$ .

Ahora, si $f \circ -$ y $g \circ -$ testigo $\text{Hom}(\cdot,a) \cong \text{Hom}(\cdot, b)$ (aquí $f \in \text{Hom}(a,b)$ y $g \in \text{Hom}(b,a)$ ) entonces vemos:

$$ \text{Id}(-) = (f \circ -) \circ (g \circ -) = f \circ g \circ - $$

Eso es, $f \circ g$ es la propia identidad, y $a \cong b$ ¡!

Por lo tanto, cuando demostramos que (para un $x$ ) $\text{Hom}(x,a) \cong \text{Hom}(x,a^1)$ Estamos demostrando que $\text{Hom}(\cdot, a) \cong \text{Hom}(\cdot, a^1)$ como transformaciones naturales. De la discusión anterior, esto nos permite concluir $a \cong a^1$ .

Este es un modo de argumentación muy común en la teoría de las categorías, y recomiendo el capítulo 8 de "Category Theory" de Awodey para una buena discusión de esta y otras técnicas relacionadas.

---

Espero que esto ayude ^_^