Estoy tratando de construir el formalismo del estado coherente fermiónico de acuerdo con las convenciones de grassmann utilizadas en el libro "Mirror Symmetry", relación (9.20), donde la integración fermiónica se define como: $$\int\psi d\psi=1\space(1)$$ Es inmensamente deseable tener: $$\frac{\partial\psi}{\partial\psi}=1\space(2)$$ Y en consecuencia podemos seguir la convención de que un $\psi$ La diferenciación como en (2) significa una integración por la derecha como en (1). Esto funciona perfectamente, ya que todas las pruebas de la supersimetría en los capítulos 9 y 10 salen bien con estas convenciones. Siguiendo estas convenciones anteriores, y construyendo el formalismo del estado coherente fermiónico, los operadores de escalera adquieren las siguientes representaciones en la base del estado coherente: $$\Psi^\dagger\rightarrow\bar{\psi},\space\Psi\rightarrow-\frac{\partial}{\partial\bar{\psi}}\space(3)$$ Ahora cuando evalúo el anticomutador de los operadores de escalera en la base del estado coherente obtengo: $$[\Psi,\Psi^\dagger]_+=-1\space(4)$$ Esto debería haber salido +1 ya que esto es lo que se ha utilizado en el libro cuando se trata de la cuantificación, ver por ejemplo (10.83) y (10.209): $$[\Psi,\Psi^\dagger]_+=+1\space(5)$$$$ [\Psi^I,\Psi^{\dagger J}]_+=g^{IJ}\space(6)$$ He comprobado los cálculos que conducen a (4) y parecen correctos, si se requieren los detalles puedo intentar escribirlos. ¿Puede alguien ayudarme con el signo menos que aparece en (4)?
Respuesta
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El cambio de signo en (4), se produce (como debe ser) cuando se tiene en cuenta el cambio de orden mientras se realiza la operación adjunta: $$\Psi^\dagger|\psi>=\frac{\partial}{\partial\psi}|\psi>\Rightarrow<\bar{\psi}|\Psi=<\bar{\psi}|\biggl(\frac{\partial}{\partial\psi}\biggr)^\dagger$$ Ahora el operador de la derivada golpea por la derecha, y de acuerdo con las convenciones, corresponde a una integración por la izquierda, esto produce el cambio de signo requerido.
