¿Puede una combinación convexa de funciones no negativas no convexas ser una función convexa?

Question

Es bien sabido que una combinación convexa de funciones convexas sigue siendo una función convexa. Me pregunto si es posible que una función convexa pueda representarse como una combinación convexa de funciones no convexas y convexas y no negativas. Aquí, el concepto de combinación convexa se relaja para incluir una forma de integración, es decir $\int_{a} f_a(x)d \mu(a)$ donde $\mu$ es una medida de probabilidad que satisface $\int_{a} d\mu(a) = 1$ .

Answer 1

Esto siempre es posible. Se puede escribir la función convexa $f$ como $$ f = \frac23 (2f) + \frac13(-f). $$

Answer 2

¿No podría haber $4x^2$ que es convexo y $-2x^2$ que es cóncava pero $(1/2)(4x^2) + (1/2)(-2x^2) = x^2$ que en convexo.

Answer 3

No siempre. He aquí un contraejemplo: $f(x)=x^2$ (convexo), $g(x)=-x^4$ (no convexo, cóncavo) y la combinación convexa $$ 1/2\, f(x) + 1/2\, g(x)= \frac{x^2-x^4}2 $$ que es no convexo (y cóncavo).