¿Qué es? $\mathbb{F}_7[X]$ ?

Question

No entiendo qué son estos conjuntos. Sé lo que es algo como $\mathbb{Z}_7$ es. Es el anillo de los enteros módulo 7 por lo que es igual a ${0,1,2,3,4,5,6}$ . Pero, ¿qué es $\mathbb{F}_7[X]$ igual a. No lo entiendo. Me he pasado años buscando en internet pero no encuentro nada al respecto. Todo lo que sé es que tiene 7 elementos, pero sólo quiero ver una definición clara de la misma.

Answer 1

Bueno, ya sabes que el anillo $\mathbb{Z}_{n}$ es para cualquier número entero $n$ . Resulta que si $n$ es un número primo (como $2$ , $3$ , $5$ , $7$ etc.) (cuando $n$ es primo, se suele sustituir por la letra $p$ ) entonces $\mathbb{Z}_{p}$ ¡es realmente un campo! No sólo es un anillo, sino que también tiene una identidad multiplicativa (si tu definición de anillo no viene ya con este supuesto), no divisores cero, y cada elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo.

Normalmente, la gente escribe $\mathbb{F}_{p}$ en lugar de $\mathbb{Z}_{p}$ ya que se trata de un campo. De alguna manera, llamarlo $\mathbb{F}_{p}$ nos recuerda que es el campo de orden $p$ .

Ahora bien, ¿qué sucede cuando "adosamos $X$ "a este campo? Es decir, ¿qué es $\mathbb{F}_{p}[X]$ ? Es simplemente el conjunto $\{a_{0} + a_{1}X + a_{2}X^{2} + \dots + a_{n}X^{n} \mid a_{i} \in \mathbb{F}_{p}, n \in \mathbb{N} \}$ . En otras palabras, $\mathbb{F}_{p}[X]$ es el conjunto de polinomios cuyos coeficientes provienen de $\mathbb{F}_{p}$ .

Así, por ejemplo, sabemos que $\mathbb{F}_{7} = \mathbb{Z}_{7} = \{ [0], [1], [2], [3], [4], [5], [6] \}$ . Entonces algunos elementos en $\mathbb{F}_{7}[X]$ son:

1) $[1] + [3]X^{2} + [5]X^{9}$

2) $[6]X^{2} + [4]X^{3}$

3) $[5]$ (un polinomio constante)

Cualquier polinomio que se te ocurra (recuerda que los polinomios tienen finito grado, es decir, una potencia máxima finita de $X$ ) con coeficientes en $\mathbb{F}_{7}$ está en $\mathbb{F}_{7}[X]$ .

$\mathbb{F}_{7}[X]$ se llama anillo de polinomios con coeficientes en $\mathbb{F}_{7}$ y esto es en realidad un anillo con la suma y multiplicación que se espera entre dos polinomios.

Answer 2

$\mathbf{F}_7$ es el campo finito con siete elementos. Dado que $7$ es primo, es isomorfo al anillo $\mathbf{Z}_7$ .

Si $R$ es un anillo, entonces $R[X]$ es el anillo de todos los polinomios en la indeterminación $X$ cuyos coeficientes son elementos en $R$ .