Estoy buscando una definición matemática de marco de referencia. La mayoría de los libros de texto que he visto dar por sentado y que sólo se refiere a un conjunto de coordenadas espacio-tiempo. Más definición matemática encontré define el espacio-tiempo $E$ como un espacio afín $\mathbb{R}^4$ y, a continuación, define un marco de referencia como una 5-tupla $(P,v_1,v_2,v_3,v_4)$ donde $P\in E$ $(v_i)$ es una base de $\mathbb{R}^4$. Pero con esta definición no puedo hacer que el sentido de la frase "un marco en movimiento con respecto a otro".
Respuestas
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Tenga en cuenta que una idea central de la teoría especial de la relatividad es que no se puede definir un marco de referencia con respecto a nada, pero de otro marco de referencia. Sólo ten en cuenta que esto no hace que el espacio de menos general.
Siempre que $(v_i)$ es una base aceptable, esta es precisamente la definición correcta. Permite llevar a $P=(0,0,0,0)$, donde las coordenadas son como $(ct,x,y,z)$. A continuación, tomar $v_1=(\gamma,\beta \gamma,0,0)$, $v_2=(\beta \gamma,\gamma,0,0)$, $v_3=(0,0,1,0)$, $v_4=(0,0,0,1)$. Entonces, desde el $P$ es cero, podemos dejar que la $(v_i)$ ser un nonaffine transformación lineal. Como de costumbre, con un cambio de base ("las nuevas coordenadas de un vector columna v está dada por la matriz producto $M^{-1}v$"), la matriz de cambio de base es la inversa de a $M=(v_1,v_2,v_3,v_4)$ donde cada base de vectores es un vector columna, o:
$M^{-1}=\begin{pmatrix}\gamma & -\beta \gamma & 0 & 0\\-\beta \gamma & \gamma & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
la costumbre transformación de Lorentz. (En general una base aceptable $v_i$ sería la composición de una rotación y una transformación de lorentz)
Entonces, ¿qué nos da el derecho a decir esto representa un marco en movimiento con respecto a otro? Si una partícula en el sistema de coordenadas $(v_i)$ está en la posición $s=(ct',0,0,0)$, entonces su posición en el estándar de la base $Ms=(ct'\gamma,ct'\beta\gamma,0,0)=(ct,x,y,z)$. Así, desde la posición es lineal, para encontrar su velocidad podemos encontrar: $\frac{x}{t}=\frac{ct'\beta\gamma}{t'\gamma}=c\beta$. (He calculado $\frac{x}{t}$ porque su significado es físicamente más clara que la de $\frac{x}{c t}$.) Por lo tanto, la base $(v_i)$ representa un sistema de coordenadas en movimiento a velocidad $\beta c$ con respecto al actual sistema de coordenadas.
Gil Milow
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Cualquier definición rigurosa en el contexto de la teoría de la relatividad, debe ser expresada en términos de sus primitivas nociones ( http://en.wikisource.org/wiki/The_Foundation_of_the_Generalised_Theory_of_Relativity ; véase también http://en.wikisource.org/wiki/Space_and_Time ): es decir, en términos de
distinguible "perceptible sustancial puntos" (en el siguiente para el corto: "los participantes"), y
"coincidencias" (o "eventos"), que se distinguen por la que la identificación de los participantes tomaron parte, y las que no.
Un frame of reference para un conjunto dado $S$ de eventos es así, en primer lugar, cualquier conjunto $K$ de los participantes
(1) donde para cada evento de $S$ no es un participante en el conjunto de $K$ de los que tomaron parte en él, y
(2) en donde no hay dos participantes de $K$ tomaron parte en el mismo evento de $S$
(Por tanto, para cada evento de $S$ no es precisamente uno de los participantes en el conjunto de $K$ de los que tomaron parte en él.)
Adicional relaciones geométricas entre los miembros de un conjunto de $K$, además que permite caracterizar esta frame of reference como un sistema, puede ser obtenido mediante la consideración de los participantes que no pertenecen a establecer $K$ pero que también tomó parte en (algunos de) los eventos $S$.
Anexo -- Más recientemente, he aprendido:
si el conjunto dado $S$ de eventos constituye una de Lorenz colector , a continuación, correspondiente frame of reference se describe como un conjunto $K$ anterior también es referido como un timelike congruencia.
