Dejemos que $a,d, x,y\in \mathbb{R}$ y ésta sea la secuencia aritmética dada:
$$a_{1} := a, \forall_{ n \in \mathbb{N}}: a_{n+1} := a_{n} + d$$
Ahora quiero probar con la inducción que para todos $n \in \mathbb{N}$
$$ S_{n} := \sum_{i=1}^{n}a_{i} = \frac{n}{2}(a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2}(2a + (n - 1) d$$
Para ello, he probado lo siguiente:
Caso base: $ n = 1 , \sum_{i=1}^{1}a_{i} = a_{1} = \frac{1}{2} (a_{1} + a_{1}) = a = \frac{1}{2}(2a) + 0d = a $
Paso de inducción: Supongamos que $$\sum_{i=1}^{n}a_{1} = \frac{n}{2}(a_{1} + a_{n})= \frac{n}{2}(2a + (n - 1) d $$
aún por probar: $$\sum_{i=1}^{n+1}a_{i} = \frac{n+1}{2}(a_{1} + a_{n+1})= \frac{n+1}{2}(2a + ((n+1) - 1) d $$
Por lo tanto: $$\sum_{i=1}^{n+1}a_{i} = \sum_{i=1}^{n}a_{i} + a_{n+1} \Leftrightarrow \frac{n}{2}(a_{1} + a_{n}) + a_{n+1} $$
Siento que he cometido un error conceptual en mi planteamiento, porque ahora no sé cómo terminar la inducción. Una de las razones es que no sé si tengo que mostrar $\frac{n+1}{2}(a_{i} + a_{n+1})$ o $ \frac{n+1}{2}(2a + ((n+1) - 1) d $ como resultado de la prueba.
