Hace $\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k{2n\choose k}2^kF_{k+1}=5^n$ ¿se mantiene para todos los valores de n?

Question

Estaba mirando la fórmula $(81)$ en aquí que se muestra a continuación

$$\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k}2^kF_k=F_{3n}$$ .

$F_n$ es el $n^{th}$ Número de Fibonacci

Escribí la suma y sólo alterné los signos y descubrí que tiene una respuesta sencilla en forma de $5^n$

$$\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k{2n\choose k}2^kF_{k+1}=5^n$$ .

Aquí se nota que sólo funciona para términos pares.

¿Esta fórmula $$\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k{2n\choose k}2^kF_{k+1}=5^n$$ ¿funciona para todos los valores n o sólo accidentalmente para algunos valores n?

Ejemplos

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para $n=1,2$ y $3$ $$1-4+8=5$$

$$1-8+48-96+80=5^2$$

$$1-12+120-480+1200-1536+832=5^3$$

Answer 1

Sí, la identidad se mantiene y se demuestra fácilmente con la inducción sobre $n$ . Recordemos primero la conocida identidad $$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1},$$ que por supuesto es simplemente el triángulo de Pascal. Si aplicamos esto dos veces, obtenemos $$\binom{n}{k-1} + 2\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+2}{k+1},$$ lo que equivale a $$\binom{2n}{k-1} + 2\binom{2n}{k} + \binom{2n}{k+1} = \binom{2(n+1)}{k+1}.$$ Ahora defina $$S(n) = \sum_{k=0}^{2n} (-2)^k \binom{2n}{k} F_{k+1}.$$ Entonces, recordando la convención que $\binom{n}{k} = 0$ cuando $k < 0$ o $k > n$ , $$\begin{align*} S(n+1) &= \sum_{k=0}^{2(n+1)} (-2)^k \binom{2(n+1)}{k} F_{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^{2(n+1)} (-2)^k \binom{2n}{k-2}F_{k+1} + 2 \sum_{k=0}^{2(n+1)} (-2)^k \binom{2n}{k-1}F_{k+1} + S(n) \\ &= S(n) + 4\sum_{k=0}^{2(n+1)} (-2)^{k-2} \binom{2n}{k-2} (2F_{k-1} + F_{k-2}) - 4 \sum_{k=0}^{2(n+1)} (-2)^{k-1} \binom{2n}{k-1} (F_k + F_{k-1}) \\ &= S(n) + 8 S(n) + 4 \sum_{k=0}^{2(n+1)} (-2)^{k-2} \binom{2n}{k-2} F_{k-2} - 4S(n) - 4 \sum_{k=0}^{2(n+1)} (-2)^{k-1} \binom{2n}{k-1} F_{k-1} \\ &= S(n) + 8 S(n) - 4 S(n) \\ &= 5 S(n). \\ \end{align*}$$ Es importante entender que aunque todas las sumas parecen estar tomadas $\{0, \ldots, 2(n+1)\}$ en realidad algunos términos son cero porque el coeficiente binomial correspondiente en el sumando es cero.

En consecuencia, tenemos $S(n+1) = 5S(n)$ que con la condición inicial $S(0) = (-2)^0 \binom{0}{0} F_1 = 1$ obtenemos $S(n) = 5^n$ como se ha reclamado.

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La parte de la condición inicial de la prueba anterior conduce a una observación interesante para el lector astuto: observe que la identidad sólo necesita el hecho de que en el caso inicial, el número de Fibonacci es $1$ y $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ . Por lo tanto, si utilizamos la definición habitual $F_0 = 0, F_1 = 1$ entonces la identidad se puede escribir con $$S(n) = \sum_{k=0}^{2n} (-2)^k \binom{2n}{k} F_{k+1}$$ o $$S(n) = \sum_{k=0}^{2n} (-2)^k \binom{2n}{k} F_{k+\color{red}{2}}.$$ De hecho, es un caso especial de la identidad más general $$S(n,m) = \sum_{k=0}^{2n} (-2)^k \binom{2n}{k} F_{k+m} = F_m 5^n.$$ Otro buen corolario es que cuando $m = 0$ inmediatamente obtenemos $S(n,0) = 0$ .