Dejemos que $f : [1,2] \mathbb {R}$ se define por $f(x) = x$ . Demostrar que $f$ es integrable de Riemann y calcular $$\int_1^2f(x)dx$$ como límite de las sumas superiores (e inferiores).
He intentado resolver esto pero no sé si mi respuesta es correcta.
Dejemos que $P_n$ sea la partición uniforme de $[1,2]$ dado por $$1 \lt 1+\frac1{n} \lt 1+\frac2{n} \lt \cdots \lt 1+\frac{n-1}{n}\lt2$$
La función $f(x)=x$ es creciente, por lo que $$m_i=inf_{x \in [x_{i-1},x_i]}f(x)=f(x_{i-1})=1+\frac{i-1}{n}$$ y $$M_i=sup_{x \in [x_{i-1},x_i]}f(x)=f(x_i)=1+\frac{i}{n}$$
$$L(f,P)=\sum_1^n(1+\frac{i-1}{n})\frac{i}{n}=\frac{3n-1}{2n}$$ y $$U(f,P)=\sum_1^n(1+\frac{i}{n})\frac{i}{n}=\frac{3n+1}{2n}$$
Por lo tanto, $$\lim_{n\to\infty}L(f,P_n)=\frac32 \quad \lim_{n\to\infty}U(f,P_n)=\frac32$$
Por el criterio de integrabilidad $$\int_1^2f(x)dx=\lim_{n\to\infty}L(f,P_n)=\lim_{n\to\infty}U(f,P_n)=\frac32$$
