¿Textos de álgebra lineal?

Question

¿Puede alguien sugerir un texto de álgebra lineal relativamente suave que integre los espacios vectoriales y el álgebra matricial desde el principio? En el pasado he comprobado que los estudiantes reaccionan de forma muy negativa a la introducción de espacios vectoriales abstractos a mitad de curso. A veces da la sensación de que he entrado en clase y he dicho: "Olvidaos de las matemáticas. Vamos a aprender griego antiguo". A veces los alumnos se dan cuenta de que el griego también es interesante, ¡pero puede costar mucho convencerlos! Por eso me gustaría que los alumnos supieran, desde el principio, en qué se están metiendo.

¿Alguien conoce algún texto que pueda ayudarme a hacer esto de una manera no muy avanzada? Una posibilidad, supongo, es Linear Algebra Done Right de Axler, pero ¿hay otros? El libro de Axler podría ser demasiado avanzado.

¿O alguien me desaconsejaría intentarlo, basándose en experiencias anteriores?

Answer 1

Libros más nuevos

Análisis matricial y álgebra lineal aplicada de Meyer está muy bien escrito con ejemplos y ejercicios claros. Creo que sería un excelente primer curso.

También estoy de acuerdo en que los libros de Axler es un gran texto para los más maduros.

Clásicos

Espacios vectoriales de dimensión finita de P. R. Halmos es, en mi opinión, un libro absolutamente imprescindible para el matemático en ciernes. Esto se debe a los ejercicios (Mi recomendación: resolverlos todos).

Como se ha mencionado anteriormente Álgebra lineal (2ª edición) por Kenneth M Hoffman y Ray Kunze. Este puede ser mi texto favorito por su volumen de contenido.

Más Avanzado

Álgebra lineal avanzada por Steven Roman

Análisis de la matriz

Análisis de la matriz y Temas de análisis matricial por Roger A. Horn y Charles R. Johnson

Análisis de la matriz por Rajendra Bhatia

Answer 2

Aunque no he dado conferencias a partir de él, me gusta mucho la obra de Klaus Jänich Álgebra lineal libro.

Answer 3

El Álgebra Lineal de Serge Lang no cubre mucho material, pero está muy bien para una primera introducción. No hace hincapié especialmente en las matrices y los cálculos, por lo que uno entiende inmediatamente que las matrices sólo vienen como representaciones de mapas lineales, pero tampoco es demasiado abstracto.

Answer 4

Es un error utilizar las matrices inmediatamente en el álgebra lineal por varias razones, aunque se consideren (¡incorrectamente!) como algo central en el álgebra lineal.

En realidad, los conceptos generales son más fáciles de entender sin hablar de las matrices, y la mayoría de los resultados importantes son más sencillos y fáciles de demostrar sin referencia a las matrices.

Las matrices son una herramienta computacional útil en el caso de los espacios vectoriales generados finitamente, pero no son naturales. Por eso hay diferentes reglas para transformar las matrices, según representen transformaciones lineales o formas bilineales. Las matrices también ocultan el hecho de que el cálculo no es ni más ni menos que álgebra lineal, pero con espacios vectoriales de generación infinita.

Si tuviera que recomendar un solo libro para un primer curso, sería K. Jänich Álgebra lineal , que es un texto de primer semestre para estudiantes alemanes de matemáticas y/o física. Es completamente moderno y legible.

Answer 5

He enseñado Álgebra Lineal unas cuantas veces, tanto a nivel básico como avanzado, y el texto introductorio que mejor me sirvió precisamente para el objetivo que persigue el PO es, sorprendentemente, los cinco primeros capítulos del segundo volumen del clásico del difunto Tom M. Apostol Cálculo . Es una obra concisa, sin rodeos y con los pies en la tierra. primero curso de álgebra lineal que parte de los espacios vectoriales abstractos ya en el primer capítulo (con muchos ejemplos, por supuesto) y pasa a las matrices en el segundo capítulo, justo después de introducir las transformaciones lineales. Me parece que el enfoque de Apostol es bastante refrescante porque ilumina en gran medida las operaciones matriciales implicadas en la resolución de sistemas lineales (eliminación de Gauss-Jordan, etc.).

Sin embargo, hay que tener en cuenta que se trata de un primer encuentro con el álgebra lineal, por lo que sólo se tratan los espacios vectoriales reales y no se tratan temas un poco más avanzados como la forma canónica de Jordan. En cuanto a esto último, estoy de acuerdo con la respuesta de The Mathemagician de que un enfoque puramente algebraico podría no ser aconsejable para un público más amplio. Por ejemplo, me gusta especialmente la demostración de Filippov de la forma canónica de Jordan utilizando exponenciales matriciales como soluciones fundamentales de sistemas de EDO lineales autónomos, que es la que se utiliza en la obra de G. Strang Álgebra lineal y sus aplicaciones . Este argumento encajaría perfectamente en el capítulo 7 (sobre sistemas de EDO lineales) del volumen de Apostol, donde se discuten en profundidad los exponenciales matriciales (incluido el algoritmo de Putzer, presentado como una aplicación del teorema de Cayley-Hamilton), por lo que, en retrospectiva, siento que fue una oportunidad perdida.