Polinomios que pasan a través de una gran cantidad de números primos

Question

Cada vez que menciono un polinomio $p(x)$ pasa a través de $n$, me refiero a que no es un número entero $z$, de modo que $p(z)=n$, también cualquier polinomio puedo hablar es de suponer, con coeficientes enteros.

Es bien conocido abierta a la pregunta para encontrar un polinomio de grado 2 o más, que pasa a través de una cantidad infinita de números primos.

Qué sabemos de las generales de los polinomios de grado n que pasa a través de, al menos, f(n) números primos donde f no es constante (para f podría ser como log(n) o 1,5*n)?

Además, no sabemos si el número de números primos de una ecuación cuadrática pasar a través de es ilimitado (y lo mismo para otros grados)? Es decir, si nos fijamos en $s(p(x))$ : el número de números primos $p(x)$ pasa a través, donde $p(x)$ es una ecuación cuadrática, es $s(p(x))$ delimitada?

Answer 1

Su última pregunta es contestada por un clásico y hermoso teorema de Sierpinski:

Para cualquier entero $m \ge 1$, existe una constante $k$ de manera tal que la cuadrática $n^2 + k$ pasa a través de, al menos, $m$ números primos.

Por lo tanto $s(p(x))$ es ilimitado, incluso cuando $p(x)$ está restringido a los más simple de la familia de polinomios cuadráticos.

Answer 2

Obtener un número entero polinomio de grado $n$ donde $p(0),p(1),\dots,p(n)$ son todos prime es un poco de trabajo, pero relativamente simple con un grito a la del teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas.

Dado un fijo $n$, vamos a encontrar una secuencia $p_k(z)$ de polinomios para $k=0,1,\dots,n$ tal que $p_k$ es de grado en la mayoría de las $k$ $p_k(i)$ es el primer y más grande que $n$$0\leq i\leq k$.

Para $k=0$, nos encontramos con un primer $q>n$, y definir $p_0(z)=q$.

Entonces, dado un $p_k(z)$$k<n$, definimos $p_{k+1}(z)=p_k(z)+a_{k+1} z(z-1)\dots(z-k)$. Necesitamos encontrar a $a_{k+1}$, de modo que $p_k(k+1)+a_{k+1} (k+1)!$ es un primo mayor que $n$.

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Reclamo: $p_k(k+1)$ es relativamente primer a $(k+1)!$.

Prueba: Si $1\leq d\leq k+1$, luego $$p_k(k+1)\equiv p_k(k+1-d)\pmod {d}.$$ Since $p_k(k+1-d)$ is a prime bigger than $n$, and hence bigger than $k$, then $p_k(k+1)$ is relatively prime to $d$.

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Así, por Dirichlet, podemos elegir un número entero $a_k$, de modo que $p_k(k+1)+a_{k+1} (k+1)!$ es un primo.

A continuación, $p_{k+1}(z)=p_k(z)+a_k z(z-1)(z-2)\dots(z-(k-1))$ es de grado $k$ y tiene la propiedad de que $p_{k+1}(i)$ es el primer para $i=0,1,2,\dots,k$.

Answer 3

Tu pregunta es muy difícil de responder en su totalidad.

Para la cuadrática caso hay respuestas parciales. He guardado, entre otros, y durante algún tiempo ahora, un artículo de Betty Guarnición (Universidad Estatal de San Diego. A. M. M. 97 (1990) p. 316-17) en la que hay la siguiente mejora de Sierpinski es el resultado:

TEOREMA. Deje $k\ge 2$ ser un número entero y deje $ M $ un número arbitrariamente grande. Entonces existen enteros positivos $c,d$ tal que $x^k+c$, asimismo, $x^k-d$ es principal para más de $M$ enteros positivos $x$

La famosa conjetura de Buniakowski (1854) decir que para cualquier polinomio irreducible $ f(x)\in \mathbb Z [x]$ de manera tal que el conjunto de valores de f (n) no tiene ningún divisor común mayor que $1$ ($f(x)=x^3+x+2$ es irreductible, sino $f(n)$ es siempre igual) , hay una infinidad de números primos $f(n)$. Esta conjetura es todavía uno de los principales problemas sin resolver en la teoría de los números cuando el grado de $f$ es mayor que uno. Para el grado 1 que uno tiene del teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas (obviamente $ax+b; (a,b)=1$, es irreductible); en otras palabras, Buniakowski la conjetura quiere generalizar este célebre teorema.