Valores propios en la diagonal de las matrices triangulares

Question

Se puede demostrar que si una matriz es una matriz triangular, los valores propios pueden leerse como las entradas a lo largo de la diagonal. ¿Significa esto que, dada cualquier matriz, podemos reducirla a la forma triangular y leer los valores propios a lo largo de la diagonal? Se ha demostrado que esto no es (siempre) cierto; parece que la reducción de filas distorsiona la información sobre los valores propios de una matriz, pero me ha despertado la curiosidad.

Supongamos la matriz dada, $A$ , inicialmente estaba escrita en forma triangular; en ese caso podíamos leer fácilmente los valores propios a lo largo de la diagonal. Pero esa misma matriz, $A$ , obviamente es equivalente en fila a otra matriz no triangular, $B$ Así que no debería ¿sería posible reducir cualquier matriz a la forma triangular y leer los valores propios?

Answer 1

La reducción de filas no conserva los valores propios. Se puede ver notando que cualquier matriz invertible (con cualquier valor propio de su elección_ es reducible por filas a la matriz identidad (con todos los valores propios iguales a uno). O puede observar que la reducción de filas se consigue multiplicando por la izquierda ciertas matrices invertibles (las que realizan las operaciones elementales); la multiplicación por la izquierda de una matriz no suele preservar los valores propios.

Los valores propios se conservan, en cambio, por similitud (conjugación por una matriz invertible y su inversa). Por eso siempre se pueden leer los valores propios de la diagonal de la forma de Jordan.