Si $\mathcal O_P(C)$ es un DVR, entonces $P$ es no singular

Question

Dejemos que $C$ sea una curva irreducible sobre $\mathbb A^2$ y $P\in C$ . Me gustaría probar si $$\mathcal O_P(C)=\{f\in k(C)\mid f=a/b, b(P)\neq 0\}$$ es un DVR, entonces $P$ es no singular, es decir, las derivadas $F_X(P)\neq 0$ o $F_Y(P)\neq 0$ .

MI INTENTO

Ya he demostrado que $\dim_k(\mathfrak m/\mathfrak m^2)=1$ , donde $\mathfrak m$ es el ideal máximo de $\mathcal O_P(C)$ y $k=\mathcal O_P/\mathfrak m$ . ¿Alguien podría ayudarme a continuar?

Gracias

Answer 1

Pensé en dividir esto en un montón de ejercicios de álgebra, pero decidí no hacerlo. Vamos a repasarlo.

Supongamos que $P = (0, 0)$ correspondiente al ideal máximo $\mathfrak{m} = (x, y) \subseteq A = k[x, y]$ . $C$ se recorta de $\mathbb{A}^2$ por algún polinomio $f \in A$ y por supuesto $f \in \mathfrak{m}$ si $P$ se encuentra en $C$ . El anillo local $\mathcal{O}_{C, P}$ se obtiene de $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2, P}$ mediante la modificación de $f$ . Ahora, $\mathfrak{m}_{C, P} = \mathfrak{m}_{\mathbb{A}^2, P}/(f)$ y $\mathfrak{m}_{C, P}^2 = (\mathfrak{m}_{\mathbb{A}^2, P}^2 + (f))/(f)$ y por lo tanto $\mathfrak{m}_{C, P}/\mathfrak{m}_{C, P}^2 \simeq \mathfrak{m}_{\mathbb{A}^2, P}/(\mathfrak{m}_{\mathbb{A}^2, P}^2 + (f))$ .

Este es un punto realmente importante: para obtener el espacio cotangente a $C$ en $P$ se toma el espacio cotangente a $\mathbb{A}^2$ en $P$ y el cociente por (la clase de residuo de) la ecuación definitoria de $C$ . Todo ese álgebra (introductoria, por supuesto) para hacer un punto intuitivo. Un poco más de álgebra: puedo identificar $\mathfrak{m}_{\mathbb{A}^2,P}/\mathfrak{m}_{\mathbb{A}^2,P}^2$ con $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ . El primero es el segundo localizado en $\mathfrak{m}$ pero $A/\mathfrak{m}^2$ ya es un anillo local, por lo que no es necesario localizarlo.

Ahora, puedes escribir $f$ como $$ f(x, y) = ax + by + (\text{higher order terms}) $$ y aquí, realmente, $a = (\partial f/\partial x)(P)$ y $b = (\partial f/\partial y)(P)$ . La clase de residuo de $f$ mod $\mathfrak{m}^2$ es por lo tanto $a\bar{x} + b\bar{y}$ . Aquí $\bar{x}$ y $\bar{y}$ forman una base para $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ . Si el cociente va a ser unidimensional entonces uno de $a, b$ tiene que ser distinto de cero.