Como bien señalas, el objetivo es identificar una función $f$ tal que la identidad $$ \iint g(xy)x\mathbf 1_{0\leqslant x,y\leqslant 1}\mathrm dx\mathrm dy=\iint g(xy)f(xy)\mathbf 1_{0\leqslant x,y\leqslant 1}\mathrm dx\mathrm dy, $$ es válida para toda función (acotada y medible) $g$ .
Pista: Ambos lados son funcionales lineales de $g$ por lo que son integrales de $g$ con respecto a algunas medidas. Equiparar esas medidas.
Concretamente, esto significa utilizar algún cambio de variables para alcanzar integrales de $g$ . Aquí el cambio de variables $(x,y)\to(z,t)=(xy,x)$ parece una buena idea. Uno obtiene $\mathrm dz\mathrm dt=x\mathrm dx\mathrm dy$ Por lo tanto $$ \mathrm{LHS}=\iint g(z)\mathbf 1_{0\leqslant z\leqslant t\leqslant 1}\mathrm dz\mathrm dt, $$ y $$ \mathrm{RHS}=\iint g(z)f(z)\mathbf 1_{0\leqslant z\leqslant t\leqslant 1}\mathrm dz\mathrm dt/t. $$ Así, $\mathrm{LHS}=\mathrm{RHS}$ para toda función (acotada y medible) $g$ si y sólo si (casi siempre) $$ f(z)\int\mathbf 1_{0\leqslant z\leqslant t\leqslant 1}\mathrm dt/t=\int\mathbf 1_{0\leqslant z\leqslant t\leqslant 1}\mathrm dt, $$ es decir, $$ f(z)\mathbf 1_{0\leqslant z\leqslant 1}(-\log z)=\mathbf 1_{0\leqslant z\leqslant 1}(1-z). $$ En resumen, $f(z)$ es indefinido cuando $z\lt0$ o $z\geqslant1$ (como era de esperar), y, si $0\leqslant z\lt 1$ , $f(z)$ debe hacer cierta (en casi todas partes) la identidad anterior. Un ejemplo de dicha función $f$ es $$ f(z)=\mathbf 1_{0\lt z\lt 1}(1-z)/(-\log z), $$ por lo que
$$ \mathbb E(U\mid UV)=f(UV)=(1-UV)/(-\log UV). $$
Obsérvese que mientras la función $f$ no es única, incluso en casi todas partes, ya que, por ejemplo, $f(z)$ para $z\lt0$ puede ser lo que uno quiera, la variable aleatoria $f(UV)$ es única casi con toda seguridad.
Comprobación de la cordura: $\mathbb E(U\mid UV)\geqslant UV$ (¿por qué?) y $f(z)\to1$ cuando $z\to1$ , $z\lt1$ (¿por qué?).
