Funciones patológicas y continuas

Question

Hoy, en mi curso de introducción a la teoría de la medida, el profesor ha dicho que, a menudo, cuando pensamos en la continuidad, en realidad estamos pensando en funciones suaves. Hemos estudiado el conjunto de Cantor y sus variaciones, y ha dicho que deberíamos pensar en funciones continuas como la función de Cantor-Lebegsue más a menudo cuando pensamos en continuidad.

Me preguntaba cuáles son otros ejemplos de funciones "patológicas" pero continuas. ¿Funciones que realmente ayuden a reforzar la idea de continuidad como algo distinto de la suavidad o incluso simplemente diferenciables?

Answer 1

En el capítulo 8 se expone el siguiente teorema Teorema de Blumberg y Sierpiński-Zygmund función en Funciones extrañas en el análisis real por A.B. Kharazishvili. Ofrece una conexión entre arbitrario funciones $f$ de $\mathbb{R}$ à $\mathbb{R}$ y restricciones continuas $f|D$ en algunos conjuntos $D\subseteq\mathbb{R}$ que no son pequeños (en cierto sentido).

Teorema (Blumberg) Dejemos que $f$ sea una función arbitraria que actúa desde $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ . Entonces existe un subconjunto denso en todas partes $X$ de $\mathbb{R}$ tal que la función $f|X$ es continua.