¿Tiene todo grupo finito no trivial dos representaciones irreducibles distintas sobre los números complejos de igual grado?

Question

¿Es cierto que para cualquier grupo finito no trivial G existen dos representaciones irreducibles no equivalentes de G sobre los números complejos que tienen el mismo grado.

Si es así, ¿hay alguna prueba fácil? Si no, ¿cuál es el contraejemplo más pequeño?

Nota: Cualquier grupo contraejemplo debe ser perfecto, porque si la abelianización es no trivial, obtenemos múltiples representaciones irreducibles de grado uno. [EDIT: Además, como Colin Reid señala en el comentario, un contraejemplo mínimo debe ser un grupo simple (no abeliano)]. Esto reduce considerablemente nuestra búsqueda. Las expresiones generales para los grados de las representaciones irreducibles para las familias de grupos simples que he comprobado sugieren que hay mucha repetición de grados en estos casos.

Answer 1

Parece que la respuesta es sí. Una búsqueda en MathSciNet ha permitido encontrar el artículo

Y. Berkovich, D. Chillag y M. Herzog, Grupos finitos en los que los grados de los caracteres irreducibles no lineales son distintos , Proc. Amer. Math. Soc. 115 (1992), 955-959.

En él se puede encontrar una caracterización de los grupos cuyos caracteres irreducibles no lineales tienen distintos grados. En particular, un grupo de este tipo no puede ser perfecto (véase el lema 1), por lo que siempre tendrá múltiples caracteres lineales, como se señaló en el OP. La prueba, sin embargo, se basa en la clasificación de los grupos simples finitos, por lo que no es "fácil".

Adenda: He estudiado detenidamente la bibliografía al respecto y me he encontrado con el siguiente resultado interesante, que me pareció que merecía la pena compartir. (También puede utilizarse para dar una respuesta afirmativa a la pregunta original).

Teorema. Dejemos que $G$ sea un grupo finito no trivial. Si la tabla de caracteres de $G$ tiene una columna o fila que contiene entradas racionales distintas, entonces $G$ debe ser isomorfo a $S_2$ ou $S_3$ .

La referencia es

M. Bianchi, D. Chillag, A. Gillio, _Grupos finitos con muchos valores en una columna o una fila de la tabla de caracteres_ , Publ. Matemáticas. Debrecen 69 (2006), no. 3, 281-290.

El resultado de la clasificación de los grupos simples finitos utilizado en el artículo de Berkovich-Chillag-Herzog también se utiliza aquí (con un espíritu muy parecido).

Answer 2

Ya se ha señalado en respuestas y comentarios anteriores que un grupo finito no trivial de orden mínimo sujeto a tener todos los caracteres complejos irreducibles de diferentes grados tendría que ser simple no abeliano con todos sus caracteres de valor racional.

Desde el punto de vista de la perspectiva histórica, cabe señalar que G. Seitz y W. Feit demostraron (utilizando la clasificación de los grupos simples finitos) que sólo hay un número finito (de hecho 5) de factores de composición no abelianos posibles, distintos de los grupos alternos, de un grupo finito con todos los caracteres valorados racionalmente. Por un resultado de James y Kerber, por ejemplo, ningún grupo alterno tiene todos sus caracteres de valor racional. De hecho, JG Thompson y yo hemos dado una descripción precisa del campo generado por los valores de los caracteres de $A_{n}$ por cada $n.$

Por lo tanto, utilizando estos hechos, la cuestión planteada aquí se reduce a comprobar las tablas de caracteres de 5 grupos simples no abelianos.