Demostrar: si $a$ y $b$ son algebraicas, entonces $a + b$ , $a - b$ y ab también son algebraicos

Question

Tengo que demostrar lo siguiente:

Si $a, b \in \mathbb{C}$ y ambos son algebraicos sobre $\mathbb{Z}$ entonces:

1. $a + b$ es algebraico sobre $\mathbb{Z}$

2. $a - b$ es algebraico sobre $\mathbb{Z}$

3. $ab$ es algebraico sobre $\mathbb{Z}$

He probado esto para la primera:

$a, b$ son algebraicas, por lo que existe un $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ con $f(a) = 0$ y también un $g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ con $g(b) = 0$ .

No sé cómo demostrar estas tres afirmaciones. Sería muy útil que me demostraras una de ellas de forma sencilla, y así podré hacer el resto por mí mismo.

Gracias de antemano.

Answer 1

La forma más fácil es utilizar estos hechos, que son fácilmente demostrables:

• $a\in\mathbb C$ es algebraico si $\mathbb Q[a]$ es de dimensión finita sobre $\mathbb Q$ .

• Si $a$ y $b$ son algebraicas entonces $\mathbb Q[a,b]$ es de dimensión finita sobre $\mathbb Q$ .

El resultado se deduce entonces porque $a\pm b$ y $ab$ están en $\mathbb Q[a,b]$ y los subespacios de los espacios de dimensión finita son ellos mismos de dimensión finita.

Answer 2

Probablemente la forma más fácil de abordar esto es diciendo:

$a$ es algebraico implica que la extensión de campo $\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}$ es algebraico, y por lo tanto $[\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}] < \infty$ .

Del mismo modo, tenemos $[\mathbb{Q}(b):\mathbb{Q}] < \infty$ .

Así que por la ley de la torre, $[\mathbb{Q}(a,b):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(a,b):\mathbb{Q}(a)][\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}] < \infty.$

Esto implica $\mathbb{Q}(a,b):\mathbb{Q}(a)$ es una extensión de campo algebraico, por lo que todos los términos de la forma $r + sa +qb$ , $r,s,q \in \mathbb{Q}$ son algebraicas.