Comprender la amalgama de productos libres con un ejemplo

Question

Estoy tratando de entender el $\ast -$ producto de dos grupos, creo que he conseguido entender el producto libre de dos grupos arbitrarios, pero estoy teniendo problemas cuando considero $\ast_G$ . El ejemplo que estoy tratando de entender es $\mathbb{Z}^3 \ast_\mathbb{Z} \mathbb{Z}^3$ , según lo que he leído Debería considerar $\varphi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^3$ y $\psi: \mathbb{Z} \to\mathbb{Z}^3$ (por ejemplo, la inclusión ), y considerar $\mathbb{Z}^3 \ast \mathbb{Z}^3$ pero incluyendo las relaciones dadas por $\varphi(z)\psi^{-1}(z)=1$ . No entiendo cómo son estas relaciones. ¿Pueden ayudarme a entender este ejemplo?

Answer 1

No es más difícil considerar el caso general. Supongamos que nos dan el producto libre $F$ de la $\{G_i\}_{i\in I}$ un grupo arbitrario $A$ y monomorfismos $\{\alpha_i\}_{i\in I}$ de $A$ a la $G_i$ . Nos gustaría construir otro grupo, $G$ , llamado producto libre amalgamado, que satisface una propiedad de mapeo universal similar a la que tiene el grupo libre.

Mira el siguiente diagrama:

Queremos completar el diagrama, de tal manera que podamos encontrar nuestro grupo $G$ y los homomorfismos $f_i: G_i\to G$ tal que el cuadrado de la izquierda conmuta, y tal que si nos dan homomorfismos $h_i:G_i\to H,$ otro grupo arbitrario, como en el diagrama, tal que el cuadrado exterior conmuta, entonces hay un único $h:G\to H$ haciendo que los dos triángulos conmuten.

Fíjate, hagamos lo que hagamos, necesitaremos $f_i\circ\alpha_i(a)=f_j\circ\alpha_j(a)$ o lo que es lo mismo, $f_i(\alpha_i(a))(f_j(\alpha_j(a))^{-1}=1$ . El problema es que esta relación no se mantiene en el producto libre (¡no hay relaciones en el producto libre, por construcción!). Así que forzamos la cuestión tomando $N$ el cierre normal de $\text{all}$ estos elementos en el producto libre y luego "modding out" $F$ por $N$ es decir, tomamos $G:=F/N.$

En su caso, $I=\{1,2\},\ A=\mathbb Z,\ G_1=G_2=\mathbb Z^3.$ Te dejo que digas cuáles son las flechas y que compruebes que la propiedad universal se mantiene.