$f(0)=f'(0)=f'(1)=0$ $f(1)=1$ implica $\max|f''|\geq 4$

Question

Deje $f\in C^2(\mathbb [0,1],\mathbb [0,1])$ tal que

$f(0)=f'(0)=f'(1)=0$ $f(1)=1$

Demostrar que $\max_{[0,1]}|f''|\geq 4$

El progreso

La aplicación de Cauchy valor medio teorema de tres veces demuestra la existencia de

• $\xi\in (0,1)$ tal que $f'(\xi)=1$
• $\eta\in(\xi,1)$ tal que $\displaystyle f''(\eta)=\frac{1}{\xi-1} <0$
• $\beta\in(0,\xi)$ tal que $\displaystyle f''(\beta)=\frac{1}{\xi}>0$

Si $\displaystyle \xi\leq \frac{1}{4}$ o $\displaystyle \xi\geq \frac{3}{4}$, hemos terminado.

¿Qué acerca de otros casos ?

No he utilizado la continuidad de $f''$, pero...

Answer 1

Tenga en cuenta que $$f(1)=\int_0^1\left(\frac{1}{2}-t\right)f''(t)dt.$$ Así $$1\leq \left(\int_0^1\left\vert \frac{1}{2}-t\right\vert dt\right)\cdot \sup_{[0,1]}|f''|=\frac{1}{4} \sup_{[0,1]}|f''|.$$ y la conclusión deseada de la siguiente manera.

Answer 2

Suponga $|f''(x)|\le 4-\epsilon$ todos los $x\in[0,1]$ con $\epsilon>0$. A continuación, para $x\in[0,1]$ $$ |f'(x)| \le \int_0^x |f"(t)|dt \le (4-\epsilon)x $$ y $$ |f'(x)| \le \int_x^1 |f"(t)|dt \le (4-\epsilon)(1-x). $$ Esto demuestra $|f'(x)| \le (4-\epsilon) \min(x,1-x)$. Entonces $$ |f(1)|\le \int_0^1 |f'(x)|dx \leq \int_0^{1/2} (4-\epsilon)x dx + \int_{1/2}^1 (4-\epsilon)(1-x)dx= \frac{4-\epsilon}4<1, $$ una contradicción.

Answer 3

SUGERENCIA: Suponga que $f''(x)<4$ $0\le x\le 1/2$ y, de forma simétrica, que $f''(x)>-4$$1/2\le x\le 1$.