Demostrar que $f(n) = 3n^5 + 5n^3 + 7n$ es divisible por 15 para cada número entero $n$

Question

• Hasta ahora sólo he podido completar el caso base para el que obtuve lo siguiente:

$$f(n) = 3n^5 + 5n^3 + 7n$$

$$f(n) = 3(1)^5 = 5(1)^3 + 7(1)$$

$$f(n) = 3 + 5 + 7$$

$$15/15 = 1$$

A partir de aquí me confundí un poco con el paso inductivo en cuanto a la manipulación de números, una pista que me dio mi profesor fue $f(-n) = -f(n)$ . Se agradece cualquier ayuda adicional.

Answer 1

Primer trabajo con $\mathbb{Z^+},$

Supongamos que $3n^5+5n^3+7n = 15k$ entonces considere $$f(n+1) = 3(n+1)^5+5(n+1)^3+7(n+1)$$

$$ = 3n^5+15n^4+35n^3+45n^2+37n+15$$

$$ =(3n^5+5n^3+7n) + 15(n^5+2n^3+3n^2+2n+1)$$

$$ = 15(k+n^5+2n^3+3n^2+2n+1)$$

Ahora haz algo similar utilizando la pista que te dio tu profesor para $n\in \mathbb{Z^-}$ .

Answer 2

Aunque has pedido la inducción, es mucho más fácil dividir esto en casos. Primero demostraremos que es divisible por $3$ . \begin{align} n\equiv 0\mod 3&\Rightarrow $f(n)\equiv 3n^5+5n^3+7n\equiv 0+0+0\equiv 0\mod 3\\ n\equiv 1\mod 3&\Rightarrow $f(n)\equiv 3n^5+5n^3+7n\equiv 3+5+7\equiv 0\mod 3\\ n\equiv 2\mod 3&\Rightarrow $f(n)\equiv 3n^5+5n^3+7n\equiv 3(-1)^5+5(-1)^3+7(-1)\equiv 0\mod 3 \end{align} And so $ f(n)\Nequiv 0\Nmod 3 $ for every $ n $, so $ 3|f(n) $. I suppose you try $ 5|f(n)$ como ejercicio para ti mismo, como seguro que eres capaz de hacer. Hazme saber si encuentras algún problema.

Probablemente también debería señalar El pequeño teorema de Fermat que establece que para cualquier primo $p$ la equivalencia $a^p\equiv a\mod p$ es válida para todos los números enteros $a$ . Esto significa que puedes reducir tu polinomio a (tomemos $\mod 3$ de nuevo) a \begin{align} f(n)&=3n^5+5n^3+7n\\ &\equiv 3\cdot n^3\cdot n^2+5n^3\cdot n^3\cdot n+7n\\ &\equiv 3\cdot n\cdot n^2+5n\cdot n\cdot n+7n\\ &\equiv 3n^3+5n^3+7n\\ &\equiv 3n+5n+7n\\ &\equiv 15n \mod 3 \end{align} y de $f(n)\equiv 15n\mod 3$ podemos ver fácilmente que $$f(n)\equiv 3\cdot 5n\equiv 0\mod 3$$

Espero que esto haya servido de ayuda.

Answer 3

Trabaja para los enteros positivos en primer lugar. Demostrar por inducción que $3$ divide $5n^3+7n$ (y por lo tanto $3n^5+5n^3+7n$ ) y $5$ divide $3n^5+7n$ (y por lo tanto $3n^5+5n^3+7n$ ). Dado que $3,~5$ son mutuamente primos, su mínimo común múltiplo $15$ también divide $3n^5+5n^3+7n$ . El caso que $n$ es un número entero negativo se deduce inmediatamente, ya que $3n^5+5n^3+7n$ es una función impar de $n$ .

Answer 4

$$\bmod3\\ n^1:0,1,2\\ n^2:0,1,1\\ n^3:0,1,2\\ 5n^3+7n:0,0,0$$

Esto demuestra que $3|(3n^5+5n^3+7)$ .

$$\bmod5\\ n^1:0,1,2,3,4\\ n^2:0,1,4,4,1\\ n^3:0,1,3,2,4\\ n^5:0,1,2,3,4\\3n^5+7n:0,0,0,0,0 $$

Esto demuestra que $5|(3n^5+5n^3+7)$ .