$\int\sqrt{\sin(x)}(\cos(x))^3dx$

Question

EDITAR: El comentario de @Andrew Chin resolvió el problema

$\int(\sin(x))^{1/2}(\cos(x))^3dx$

\= $\int(\sin(x))^{1/2}(\cos(x))^2(\cos(x))dx$

\= $\int(\sin(x))^{1/2}(1-\sin^2(x))(\cos(x))dx$

Dejemos que $u=\sin(x)$ Por lo tanto $du=\cos(x)dx$ siguiente:

\= $\int(u)^{1/2}(1-u^2)du$

\= $\frac{2}{3}(u)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}(u)^{\frac{5}{2}}+C$ sustituyendo $u=\sin(x)$ nos encontramos con que:

\= $\frac{2}{3}(\sin(x))^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}(\sin(x))^{\frac{5}{2}}+C$

Excepto que esto es incorrecto (la derivada de mi respuesta claramente no es igual al integrando), pero no sé por qué. ¿Puede alguien decirme en qué me he equivocado?

Answer 1

Como he señalado en un comentario, el error proviene de la regla de la potencia de integración. \begin{align} \int\sqrt{\sin x}\cos^3x\,dx&=\int\sqrt{\sin x}\cos^2x\cos x\,dx\\ &=\int\sqrt{\sin x}(1-\sin^2x)\cos x\,dx\\ &=\int\sqrt u(1-u^2)\,du\\ &=\int\sqrt u\,du-\int\sqrt{u^5}\,du\\ &=\frac23u^{3/2}-\frac27u^{7/2}+C\\ &=\frac23(\sin x)^{3/2}-\frac27(\sin x)^{7/2}+C. \end{align}

Diferenciando la última línea para comprobarlo, obtenemos \begin{align} \frac{d}{dx}\left(\frac23(\sin x)^{3/2}-\frac27(\sin x)^{7/2}+C\right)&=(\sin x)^{1/2}\cos x-(\sin x)^{5/2}\cos x\\ &=(\sin x)^{1/2}\cos x(1-\sin^2x)\\ &=\sqrt{\sin x}\cos x\cos^2x\\ &=\sqrt{\sin x}\cos^3x \end{align} como se desee.