Definición y caracterización de las funciones trigonométricas

Question

Me preguntaba, a lo largo de la educación matemática, a uno se le presentan varias definiciones equivalentes de seno y coseno, empezando por la de triángulo rectángulo, luego la de círculo unitario, luego la de serie y luego la de ecuaciones diferenciales.

Mi pregunta es la siguiente: ¿cuáles son las propiedades que definen el seno y el coseno en el modelo del círculo unitario? Lo que quiero decir con esto es lo siguiente

Supongamos que $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ sea una función tal que $|F(x)|=1$ para todos $x$ y $F$ es $2\pi$ periódico. Es decir, $F(x)=F(x+2\pi)$ para todos $x\in \mathbb{R}$ . Entonces, ¿es cierto que las únicas funciones $f(x),g(x)$ tal que $F(x)=(f(x),g(x))$ son $f(x)=\cos x$ y $g(x)=\sin x$ ?

Si no es así, ¿qué más condiciones puedo imponer para que sea así? ¿Continuidad? ¿Diferenciabilidad?

Answer 1

Una de las propiedades clave es:

$$\frac{d}{dx} [ \sin(x) ]= \cos(x) $$

Lo cual podría argumentarse que es sólo un caso especial de que ambos son soluciones de la ecuación diferencial

$$ \frac{d^2f}{dx^2}= f$$

Hasta una constante multiplicativa

Esto pone de manifiesto una arquitectura fundamental para ambas funciones más allá de la periodicidad.

Por ejemplo en el eje i del plano complejo los dos senos crecen sin límite con una forma muy similar a la curva $e^x$ a pesar de su naturaleza ondulante en el eje real. No está claro por qué estos dos fenómenos deberían estar acoplados y, por lo tanto, ninguno de ellos caracteriza por sí mismo al seno.