Dejemos que $X=\{y^2=x^3-1\}$ sur $\mathbb{C}^2$ . Utilizamos la proyección a la $x$ plano para analizar la topología de $X$ . Esta proyección es de grado $2$ y ramificado sobre las raíces cúbicas de la unidad, $1,\eta,\eta^2$ . Denote por $p=(-1/2,0)$ el punto medio entre $\eta$ y $\eta^2$ , cualquier por $r$ la distancia desde $p$ a $\eta$ (o, de forma equivalente, la distancia desde $p$ a $\eta^2$ ).
Considere los bucles $$\gamma_1(t)=(x(t),y(t))=\left(p+(r-1/3)e^{4\pi i t}, \sqrt{x(t)^3-1}\right),$$ $$\gamma_2(t)=(x(t),y(t))=\left(p+(r-1/2)e^{4\pi i t}, \sqrt{x(t)^3-1}\right).$$
Denote $\omega=3ydx-2xdy$ . Entonces $$\int_{\gamma_1}\omega\not=0, \quad \int_{\gamma_2}\omega=0,$$ que calculé numéricamente usando Mathematica. Esto significa que los dos bucles no pueden ser homotópicos. Pero cuando intento visualizar la superficie de Riemann haciendo cortes de rama, etc., no entiendo por qué estos dos bucles no son homotópicos.
Siempre he pensado que el tipo de homotopía de un bucle se puede leer a partir de los números de bobinado que $x(t)$ hace alrededor de cada uno de los puntos de ramificación, pero para estos dos bucles estos números de enrollamiento son todos iguales (y todos 0), así que esto debe ser un malentendido por mi parte.
