Me gustaría comprobar la veracidad de mi prueba. He visto varias pruebas que usan diferentes métodos (algunos que me permiten usar con mucho empuje de elementos y otros que usan ideas que no me permiten), pero ninguno explícitamente como el mío.
Primero, una definición:
Definición: Un grupo $G$ es soluble si existe una cadena de subgrupos $$ 1 = G_0 \triangleleft \dots \triangleleft G_k =G$$ tal que $G_{i+1}/G_{i}$ es abeliano para $i = 0, 1, \dots, k-1.$
El problema: Los grupos cocientes de un grupo soluble son solubles.
Prueba: Dejemos que $\overline{G}$ sea el cociente de un grupo soluble $G$ por algún subgrupo normal $N$ de $G$ . G es soluble por lo que hay una cadena:
$$ 1 = G_0 \triangleleft \dots \triangleleft G_n =G$$
tal que $G_{i+1}/G_{i}$ es abeliano para $i = 0, 1, \dots, n-1$ . Por el teorema del isomorfismo de la red, $$G_{i} \triangleleft G_{i+1} \iff \overline{G_{i}} \triangleleft \overline{G_{i+1}}$$ así que hay una cadena: $$ \overline{1} = \overline{G_{0}} \triangleleft \dots \triangleleft \overline{G_{n}} = \overline{G}$$ para el grupo cociente. Ahora, por el tercer teorema del isomorfismo, tenemos
$$ \overline{G_{i+1}} / \overline{G_{i}} = (G_{i+1} / N)/(G_{i} / N) \cong G_{i+1} / G_{i}$$ que son abelianas. $\Box$
