La función de $g:[0,1]\to[0,1]$ es continuamente diferenciable y el aumento. También, $g(0)=0$$g(1)=1$. La continuidad y la la diferenciabilidad de órdenes superiores puede ser asumida, si es necesario. El la proposición en la mano es la siguiente:
Si para todos los enteros $t>0$ y para todos $r\in(0,1)$, $g(r^{t+1})>g(r)\cdot g(r^t)$, a continuación, para todos $p,q\in(0,1)$, $g(pq)\geq g(p)g(q)$.
Respuesta
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Mediante el establecimiento $F(x)=-\log g(e^{-x})$ obtenemos $F(0)=0,\lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty$ y el: $$\forall x\in\mathbb{R}^+,\forall t\in\mathbb{N},\quad F((t+1)x)-F(tx)\leq F(x)-F(0),\tag{1}$$ que es una especie de concavidad condición. $(1)$ puede ser re-escrita como: $$\forall x\in\mathbb{R}^+,\forall t\in\mathbb{N},\quad \int_{t}^{t+1} f(xt)\, dt \leq \int_{0}^{1}f(xt)\,dt.\tag{2}$$ Se trata, casi por arte de magia, que la función $$ f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{2}{3}\exp\left(-3(x-9/2)^2\right)$$ satisface $(1)$ y las condiciones de frontera, sin embargo: $$ \int_{4}^{5}f(x)\,dx = 0.713993\ldots > 0.693147\ldots = \int_{0}^{1}f(x)\,dx, $$ tan sólo hemos encontrado un $C^\infty(\mathbb{R}^+)$ contra-ejemplo.
