Es casi seguro que la convergencia a $0$ si y sólo si la convergencia a $0$ en la probabilidad

Question

Estoy trabajando en esta cuestión:

Demostrar que $X_{n}\rightarrow 0$ a.s. si y sólo si para cada $\epsilon>0$ existe $n$ tal que se cumple lo siguiente: para cada variable aleatoria $N:\Omega\rightarrow\{n,n+1,\cdots\}$ tenemos $$P\Big(\{\omega:|X_{N(\omega)}(\omega)|>\epsilon\}\Big)<\epsilon.$$

¿Es esta pregunta equivalente a pedirme que demuestre la "convergencia casi segura a $0$ si y sólo si la convergencia a $0$ casi seguro"?

Si es así, la dirección $(\Rightarrow)$ se puede demostrar de esta manera: Convergencia en la medida y en casi todas partes

Sin embargo, ¿no es la dirección $(\Leftarrow)$ ¿no es generalmente cierto? Seguramente puedo demostrar que existe una subsecuencia $X_{k_{n}}$ de $X_{n}$ converge a $0$ casi seguramente...

¿Podría alguien decirme a qué se refiere realmente esta pregunta? Realmente no quiero gastar tiempo en demostrar una cosa equivocada..

Gracias.

Answer 1

Primero, $X_n\to 0$ a.s. si para cualquier $\epsilon>0$ existe $n\ge 1$ s.t. $\mathsf{P}(\sup_{m\ge n}|X_m|>\epsilon)<\epsilon$ . A continuación, fijamos $\epsilon>0$ .

$(\Rightarrow)$ Supongamos que $X_n\to 0$ a.s. Entonces como para cualquier r.v. $N$ en $\{n,n+1,\ldots\}$ , $|X_{N}|\le \sup_{m\ge n}|X_m|$ el resultado se desprende de la afirmación anterior.

$(\Leftarrow)$ Dejemos que $N_n':=\inf\{m\ge n:|X_m|>\epsilon\}$ . Definir $N_n:=N_n'1\{N_n'<\infty\}+n1\{N_n'=\infty\}$ . Entonces $\{\sup_{m\ge n}|X_m|>\epsilon\}=\{|X_{N_n}|>\epsilon\}$ . Sin embargo, existe $n\ge 1$ s.t. $\mathsf{P}(|X_{N_n}|>\epsilon)<\epsilon$ .