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Descomposición de una secuencia con número contable de puntos de acumulación en subsecuencias convergentes en el espacio métrico

Dejemos que $S$ sea un espacio métrico cualquiera y la secuencia $\{x_n\}$ tiene un número infinito pero contable de puntos de acumulación $y_1,y_2,...$ Demostrar que es posible dividir el conjunto de índices $\mathbb N$ en una unión disjunta de conjuntos $S_j, j=1,2,...$ tal que cada subsecuencia $\{x_n\colon n\in S_j\}$ converge a $y_j$ .


Mi intento:

Soy capaz de afrontar la situación cuando $\{y_n\}$ no tiene punto límite. Como podemos descomponer $S$ como una unión de subespacios compactos (no necesariamente disjuntos), mientras que podemos elegir un radio uniforme $\epsilon$ para cada uno de los puntos de acumulación, de forma que no haya ningún otro punto límite dentro de la $\epsilon$ -bola para cada uno $y_i$ entonces concluimos que sólo hay puntos finitos que no están en la unión de $\epsilon$ -en cada uno de los subespacios compactos. Por lo tanto, es posible dividir el conjunto de índices $\mathbb N$ en una unión disjunta de conjuntos $S_j$ tal que cada subsecuencia $\{x_n\colon n\in S_j \}$ converge a $y_j$ .

Sin embargo, estoy atascado en el caso de que $\{y_j\}$ tiene al menos un punto de acumulación. ¿Puede alguien darme una pista? Gracias.

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Elija un punto cercano a $y_1$ . A continuación, elija dos puntos cercanos a $y_1, y_2$ respectivamente. A continuación, elija tres puntos...

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@NateEldredge Pero ¿cómo podemos estar seguros de que todos ellos son $\{x_n\}$ sin perder un punto?

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Si descubre que había algunos puntos que no utilizó, simplemente vierta uno de ellos en cada uno de los $S_i$ . Esto no afectará a sus puntos límite.

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Dick Kusleika Puntos 15230

Primero elige los subconjuntos $N_1, N_2, N_3, \ldots$ de $\Bbb N$ tal que $(x_n)_{n \in N_i} \to y_i$ para cada $i$ . Esto puede hacerse mediante hechos estándar.

Set $N_0 = \Bbb N \setminus \bigcup_{i=1}^\infty N_i$ los índices no utilizados.

Ahora bien, hay que tener en cuenta que para $ i\neq j $ tenemos $|N_i \cap N_j|$ es finito (o tendríamos una subsecuencia común con dos límites distintos, lo que no puede ocurrir).

Ahora sólo hay que redistribuir las intersecciones finitas y $N_0$ sobre el otro $N_i$ para convertirlo en una partición. Es sólo un hecho de la teoría de conjuntos sobre subconjuntos casi disjuntos de $\Bbb N$ . La adición o sustracción de un número finito de términos de una secuencia convergente no afecta a su convergencia ni a su límite, por lo que se puede jugar con ella.

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El espíritu es muy parecido al del Hotel Hilbert. Creo que esta es la forma correcta de tratar el infinito contable. ¡Muchas gracias!

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¿Puede explicar más sobre cómo la redistribución de $N_{0}$ y las intersecciones $N_{i} \cap N_{j}$ sólo hay que añadir un número finito de términos a la $N_{1}, N_{2}, N_{3}, \dots $ ?

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Para añadir a la pregunta de user100101212, estoy un poco confundido en cuanto a por qué $N_0$ puede suponerse finita. Por ejemplo, supongamos $S$ es el conjunto de los números reales y tenemos una secuencia $\{T_m\}_{m=1}^\infty$ de secuencias reales $\{x_{m,j}\}_{j=1}^\infty$ cada una converge a cero pero con ritmos cada vez más lentos: más precisamente para algunos $\epsilon>0$ la secuencia $\{M_{m ,\epsilon}\}_{m=1}^\infty$ donde para cada $m \in \mathbb N$ , $M_{m, \epsilon}$ es el menor número natural $n$ tal que $|x_{m,n}|<\epsilon$ para todos $n>M_\epsilon$ es ilimitado (o dicho de otro modo, ....

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