Dejemos que $S$ sea un espacio métrico cualquiera y la secuencia $\{x_n\}$ tiene un número infinito pero contable de puntos de acumulación $y_1,y_2,...$ Demostrar que es posible dividir el conjunto de índices $\mathbb N$ en una unión disjunta de conjuntos $S_j, j=1,2,...$ tal que cada subsecuencia $\{x_n\colon n\in S_j\}$ converge a $y_j$ .
Mi intento:
Soy capaz de afrontar la situación cuando $\{y_n\}$ no tiene punto límite. Como podemos descomponer $S$ como una unión de subespacios compactos (no necesariamente disjuntos), mientras que podemos elegir un radio uniforme $\epsilon$ para cada uno de los puntos de acumulación, de forma que no haya ningún otro punto límite dentro de la $\epsilon$ -bola para cada uno $y_i$ entonces concluimos que sólo hay puntos finitos que no están en la unión de $\epsilon$ -en cada uno de los subespacios compactos. Por lo tanto, es posible dividir el conjunto de índices $\mathbb N$ en una unión disjunta de conjuntos $S_j$ tal que cada subsecuencia $\{x_n\colon n\in S_j \}$ converge a $y_j$ .
Sin embargo, estoy atascado en el caso de que $\{y_j\}$ tiene al menos un punto de acumulación. ¿Puede alguien darme una pista? Gracias.
0 votos
Elija un punto cercano a $y_1$ . A continuación, elija dos puntos cercanos a $y_1, y_2$ respectivamente. A continuación, elija tres puntos...
0 votos
@NateEldredge Pero ¿cómo podemos estar seguros de que todos ellos son $\{x_n\}$ sin perder un punto?
0 votos
Si descubre que había algunos puntos que no utilizó, simplemente vierta uno de ellos en cada uno de los $S_i$ . Esto no afectará a sus puntos límite.